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应用随机过程ApplicationofStochasticProcesses范爱华数理科学与工程学院应用数学系8.2701.13654.137702.1365成功的道路并不拥挤,的人并不是很多。因为坚持到最后教材《应用随机过程》主要教学参考书张波张景肖编中国人民大学出版社参考书1.《应用随机过程》林元烈编著清华大学出版社2.《随机过程》王风雨编著北京师范大学出版社前言第1章预备知识1.1概率空间在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现象,大体上分为两类:必然现象和随机现象。具有随机性的现象—随机现象对随机现象的观察或为观察而进行的实验—随机试验随机试验的结果—基本事件或样本点。记作记作所有可能的结果称为样本空间。由基本事件组成的子集A—A称为事件。(有3个特征)事件的性质假设A,B,C是任意事件,则他们满足:(1)交换律(2)结合律(3)分配律(4)对偶原则(DeMorgan律)ABBACBACBA)()(CBACBA)()()()()(CABACBA)()()(CABACBABABABABAiiiiAA11iiiiAA11;,则如果)(FAFA2.,,2,131FAiFAiii则,如果)(;)(F1.-代数中的为那么,称F.),(中的元素称为事件为可测空间,FF定义1.1中的某些子集是为样本空间,设F:组成的集合族,若满足性质假代数,则中的任一事件是设-F;)1(F;,,,2,1,)2(11niiniiiFAFAniFA则若果;,,2,1,)3(1iiiFAiFA则若果;,,,)4(FABFBAFBA则若果.-5代数必为代数)(例1.1例1.2例1.3.-代数类是事件的一切事件构成的事件由,由},{F.-代数称作平凡事件},,,{,AAFA对任意事件代数。是事件-.)-(代数常常它为称为最广泛的代数。是事件则-F}};6,5,4,3{},3,2,1{,,{)1(F事件类}};6,5{},4,3}{,2,1{,,{)2(F事件类}};6,4,2}{5,3,1{,,{)3(F事件类随机试验:掷一枚骰子,观察出现的点数,思考题:,下列事件是否构成样本空间}6,5,4,3,2,1{代数?-定义1.2).(A记作代数,的最小的上任意包含事件对于-A.)(,2,1,--,1iiiFAiFAAA之交,即代数的事件上包含代数,并且等于最小事件的必定存在含中的任意事件类对于注:代数,生成的称为事件-A结论:中的一个集系,是设A的最小的则包含A.)(-一定存在代数A定义1.3).),,(().(,-.)(,-,-}),,{(-),(,RaaBRBBorelRBorelRBBorelRRaaaRnn显然记作代数上的类似可以定义合集,其中的元素称为记作代数上的称为代数)的最小(即包含代数生成的由所有半无限区间设定义1.4-上的事件是定义在样本空间设F足上的非负集函数,且满是定义在代数,FFAAP),(;1)(01APFA,有)对任意(;1)(P)2(jiAAiFAjii,,,2,13,)对任意(11)(iiiiAPAP)(的概率。称为事件间,称作概率空)上的概率,是则称AAPPFFP)(),,(,(例1.1:],1,0[],1,0[]1,0[BFBorel概率空间:设上的),(,-]1,0[]1,0[FBorelB称代数上的是局限在即]1,0[],[.]1,0[])1,0[],1,0([BbaABorelB可测空间上的为概率空间,上的为,称定义BorelPFabAP]1,0[),(,)(.]1,0[概率测度上的为称BorelP概率的基本性质,0)()1(P)(1)()3(APAP,,)2(FBA若)()()()(ABPBPAPBAP则)()()(APBPABP,,)4(FBABA若)()(BPAPBA若—单调性则)(1nnAP1)(nnAP—次可列可加性1,)5(nFAn若1,,)6(iijiAAAji设有则对任意事件,A1)()(iiAAPAP公式的推广,)性质(Jordan)2(7有对任意nAAA,,,21)(1niiAP1)(iiAPnjijiAAP1)(nkjinnkjiAAAPAAAP1211)()1()(,iA假设事件序列,)1(21nAAA如果,)2(21nAAA如果事件列极限1:nnAlim则nnA1AAnAAnnnAlim则nnA1结论:.)(序列必有极限集合单调事件概率的连续性:)8(的事件序列或递减是单调递增若)(}1,{nAn定理:则)(limnnAP)lim(nnAP具体情况:AAAAAAFAnnnnnn11,,,)1(且即且若AAAAAAFAnnnnnn11,,,)2(且即且若)(AP)(limnnAP)lim(nnAP)(1nnAP)(AP)(limnnAP)lim(nnAP)(1nnAP事件列极限2:,)对于任意事件序列(},2,1,{3nAn},2,1,{knkAn,{knnA},2,1k.因而分别有极限定义1.51kknnAdefnnAinflimnAlim—的下极限nAknnA1kdefnnAsuplimnAlim—的上极限nA例1.2:nnAxsuplim)1(.}{中无穷多个集合属于意味着nAxnnAxinflim)2(中的有限多个集合外,,意味着除去},2,1{nAn.属于该序列的其余集合x关系:nnAinflimnnAsuplim含义:}:{axx___}1:{naxx1)(nA1)(nB例1.3:.}{序列面”和“反面”组成的所以投掷硬币结果“正,的所有子集}{F}.{结果是“正面”第nAn则nnAinflimnnAsuplim}是“正面”有无限多次投掷的结果掷的结果都是除有限多次外,其余投{}.“正面”1.2随机变量和分布函数随机变量:用实数来表示随机实验的各种结果.定义1.6上,是定义在是概率空间,设XPF),,(,,且对上的函数取值于实数集RxXR))((,})(:{FxX上的随机变量。是则称FX)(关于随机变量的几点说明:义它的概率。一个事件,因而可以定中的是的集合,定义要求点的样本是指所有满足),,(})(:{,)(})(:){1(PFaXaXFaX便,简记为自变量,为了书写方定义中)2(})(:{aX},],({}{aXaX,记为以下把XX)(等表示。大写字母一般随机变量符号常用ZYX,,则易证:满足,})(:{)()3(FaXX.}{},{},{},{},{},{,,FbXabXabXaaXaXaXRba定理1.1:下列命题等价:是随机变量;X)1(;RaFaX,})(:{)2(;RaFaX,})(:{)3(.,})(:{)4(RaFaX定义1.7上的随机变量,函数是设FX)()(xF),)(:(xXPx的分布函数。称为随机变量X分布函数的含义:取值表示随机变量分布函数XxF)().(为任意实数x的概率不超过x分布函数的性质:)(xF;)(1)(01xF是非降函数,)()2(xF21xx即);()(21xFxF,0)(lim)3(xFx;1)(limxFx,)()4(是又连续的xF).()(lim)0(xFtFxFxt即随机变量的类型:离散型:kkpxXP)()(xF)(xXPxxkkp11kkp连续型:)(xF)(xXPxdttf)()为概率密度函数,(其中1)()(dxxfxf)(xfdxxdF)(多维随机变量:),,,(21dXXXX—d维随机向量多维随机变量联合分布函数:),,,(21dxxxF),,,,(2211ddxXxXxXPRxk性质:是联合分布函数,则若),,,(21dxxxF;1),,,(0)1(21dxxxF;对每个变量都是单调的),,,()2(21dxxxF的;对每个变量都是右连续),,,()3(21dxxxF),,,,(lim)4(1dixxxxFi,0),,,,(lim1dixxxxFi,1),,2,1(di),,,()5(21dxxxF121),,,(12dtdttttfddxxxd),,(1dxxfdddxxxxxxF2121),,,(一些常见的分布:1.离散均匀分布:分布列:,1npk),,2,1(nk2.二项分布:分布列:10pn和对固定的)0(,)1(kppCpknkknk.为参数的二项分布和称之为以pn3.几何分布:分布列:),1(,1kpqpkk1qp4.Poisson分布:分布列:0),,1,0(,!kekpkk____参数为的Poisson分布5.均匀分布:密度函数)(其它babxaabxf,0,1)(],[~baUX记作6.正态分布:密度函数Rxxxf,]2)(exp[21)(22分布,的正态分布,也称为和称之为参数为Gauss2),,(~2NX记作.)1,0(~称为标准正态分布NX7.分布:密度函数)(00,00,)()(1xxexxfx函数定义为分布,为参数的,称之为以)(0)(01dxexx函数的性质:);()1()1(;1)1()2(;)21()3(!)1()4(nn8.指数分布:00,分布中,令在0,00,)(xxexfx9.分布:22121为正整数,,分布中,令在nn0,)]2(2[)(22112xexnxfxnn.2分布的称为自由度为n10.d维正态分布:(略)作业题:).(169)(,21)()()(,,,.1APCBAPCPBPAPABCCBA求,且满足设两两独立的随机事件.,0,0,0,)(.222BxxBeAxFXx求的概率分布函数设随机变量1.3数字特征、矩母函数与特征函数征值就够了。特要知道随机变量的某些实际问题中,有时只需在来说是相当不容易的。而确定其分布函数一般率分布(函数)描述,随机变量完全由它的概一、数字特征定义1.8:学期望的离散型随机变量的数取值为)(}{1kxEXkkkpxkkkxXPx)(kkkpx)||(期望连续型随机变量的数学)(2EXdxxxfxxdF)()())(||(xdFx——X的一阶矩阶中心矩的)(kX3kkkEXxdFxm)()()(二阶中心矩即方差2)(XDRxdFEXx)()(2可测函数为设)(BorelRRgdd:4)],,,([21dXXXgE),,(),,(2121dRRdxxxdFxxxg.),,,(21期望的联合分布多元函数的为dXXX
本文标题:应用随机过程课件
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