小升初奥数大纲-(1)

第一课时：质数与合数内容与要求：质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=a1×a2×a3×……×an，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1a2a3……an.求约数个数的公式：P=(r1＋1)×(r2＋1)×(r3＋1)×……×(rn＋1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。公约数是1，这两个数叫做互质数。第二课时：数的整除内容与要求：一、基本概念和符号：1.整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记做b∣a。2.常用符号：整除符号“∣”，不能整除符号“｜／”因为符号“∵”，所以符号“∴”。二、整除判断方法：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1.如果a、b能被c整除，那么(a＋b)与(a－b)也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。第三课时：分数的大小比较内容与要求：基本方法：①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。第四课时：定义新运算内容与要求：基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序；②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。第五课时：余数问题内容与要求：余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。②一直三个整数a、b、m，如果m∣a－b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：①自身性：a≡a(modm);②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm);③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm),则a≡c(modm);④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm);⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm);⑦同倍性：若a≡b(modm)，整数c,则a×c≡b×c(modm×c);三、关于乘方的预备知识：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或(mod3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M=Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);四、被3、9、11除后的余数特征五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap－1≡1(modp)。第六课时：归一问题内容与要求：基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。第七课时：平均数问题内容与要求：基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数的和÷总份数基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算。②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有书比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。第八课时：数列求和内容与要求：等差数列：在一数列中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，Sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求出第四个。基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)×d通项=首项+（项数-1）×公差；数列和公式：Sn=(a1+an)×n÷2数列和=（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：n=(an+a1)÷d＋1项数=（首项＋末项）÷公差＋1；公差公式：d=(an-a1)÷(n-1)公差=（末项－首项）÷（项数-1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式第九课时：盈亏问题内容与要求：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。基本题型：①一次有余数，另一次不足：基本公式：总份数=（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数=（较大余数－较小余数）÷两次没分数的差③当两次都不足；基本公式：总份数=（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。第十课时：年龄问题内容与要求：年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的。解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。第十一课时：植树问题内容与要求：基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式：棵数=段数+1棵距×段数=总长棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系第十二课时：工程问题内容与要求：基本公式：①工作总量=工作效率×工作时间②工作效率=工作总量÷工作时间③工作时间=工作总量÷工作效率基本思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。第十三课时：综合行程问题内容与要求：基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间=路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速＋水速）×顺水时间逆水行程=（船速－水速）×逆水时间顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和速度差）中任意两个量，求第三个量。第十四课时：鸡兔同笼问题内容与要求：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。第十五课时：牛吃草问题内容与要求：基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：元草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量第十六课时：浓度配比问题内容与要求：溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量=溶质重量＋溶剂重量；溶质重量=溶液重量×浓度；浓度=（溶质重量÷溶液重量）×100%=溶质重量÷（溶质重量＋溶剂重量）×100%理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的过程中存在这样的一个分比例关系，进行混合的两种溶液的重量和它们浓度的变化成反比。第十七课时：经济问题内容与要求：利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100%；卖价=成本×（1＋利润的