考点50椭圆教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点50椭圆1．（北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模理）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138.2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率为：1503198840cea，选B.2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）已知椭圆C：22221xyab，0ab的左、右焦2点分别为1F，2F，M为椭圆上异于长轴端点的一点，12MFF的内心为I，直线MI交x轴于点E，若2MIIE，则椭圆C的离心率是（）A．22B．12C．32D．13【答案】B【解析】解：12MFF的内心为I，连接1IF和2IF，可得1IF为12MFF的平分线，即有11MFMIFEIE，22MFMIFEIE，可得12122MFMFMIFEFEIE，即有1212222MFMFaFEEFc，即有12e，故选：B．3．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为()A．32B．31C．22D．323【答案】B【解析】解：设椭圆的两个焦点为1F,2F,圆与椭圆交于A,B,C,D四个不同的点,设122FFc,则1DFc,23DFc．椭圆定义,得122||||3aDFDFcc,所以23131cea,故选：B．4．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）在平面直角坐标系xOy中，已知点,AF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于,PQ两点，线段AP的中点为M，若,,QFM三点共线，则椭圆C的离心率为()A．13B．23C．83D．32或83【答案】A【解析】如图设0000,,,PxyQxy,又(,0),(,0)AaFc，00,22xayM,,,QFM三点共线,MFQFkk40000022yyxacxc,即00002yycxxac,002cxxac,3ac,13cea,故选A.5．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知1F、2F分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点A是1F关于直线bxayab的对称点，且2AFx轴，则椭圆C的离心率为_________.【答案】512【解析】1F、2F分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，点A是1F关于直线bxayab的对称点，且2AFx轴，可得2AF的方程为xc，1AF的方程()ayxcb，可得2(,)acAcb，1AF的中点为(0,)acb，代入直线bxayab，可得：222acbca，1cea，可得210ee，解得512e．故选：51256．（河南省洛阳市2018-2019学年高二5月质量检测（期末)数学（理）已知F是椭圆222210xyabab的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且2AFFB，则椭圆的离心率为______.【答案】33【解析】设0,Ab，,0Fc，作BCy轴，垂足为C，如下图所示：则：22AFbca由2AFFB得：23AFcABBC32BCc，即：32Bxc由椭圆的焦半径公式可知：BBFaex232BAFaaccaexFBaa，整理可得：223ac213e，即33e6本题正确结果：337．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O，球2O的半径分别为3和1，球心距离128OO,截面分别与球1O，球2O切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．【答案】255【解析】如图，圆锥面与其内切球1O，2O分别相切与B,A，连接12,OBOA则1OBAB^，2OAAB^，过1O作12ODOA^垂直于D，连接12,OFOE，EF交12OO于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在12RtOODD中，2312DO=-=，22182215OD=-=11221515cos84OOODa\===128OO218COOC\=-21EOCFOCDD711218OCOCOEOF-\=解得1=2OC222211213CFOFOC\=-=-=即13cos2CFOCb==则椭圆的离心率3cos252cos5154eba===8．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试）已知椭圆2222:10xyEabab与y轴正半轴交于点0,3M，离心率为12．直线l经过点,00Ptta和点0,1Q．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若APPB，当2303t时，求的取值范围．【答案】（1）22143xy（2）351,2【解析】解析：（1）．由题意，12cea且3b，所以2a，8所以椭圆E的标准方程为22143xy．（2）．因为直线l经过点,00Ptta和点0,1Q，所以直线l的斜率为1t，设1:1lyxt，将其代入椭圆方程22143xy中，消去x得22223463120tytyt，当时，设11,Axy、22,Bxy，则2122634tyyt……①，212231234tyyt……②因为APPB，所以1122,,txyxty，所以12yy……③联立①②③，消去1y、2y，整理得222124141t．当2303t时，2221241412,1t，解3535,11,22由2122261034tyyyt且20y，故1，所以351,2．9．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）在直角坐标系xOy中，设椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为1F,短轴的两个端点分别为,AB，且160AFB，点1(3,)2在C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线:(0)lykxmk与椭圆C和圆O分别相切于P,Q两点，当OPQ面积取得最大值时，求直线l的方程.【答案】(Ⅰ)2214xy.(Ⅱ)5yx.【解析】(Ⅰ)由160AFB，可得2ab，①9由椭圆C经过点1(3,)2，得2231144bb，②由①②得224,1ab，所以椭圆C的方程为2214xy．(Ⅱ)由2214xyykxm消去y整理得222148440kxkmxm（*），由直线l与椭圆相切得，222264161140kmmk，整理得2241mk，故方程（*）化为2228160mxkmxk，即2(4)0mxk，解得4kxm，设11,Pxy，则124414kmkxkm，故111ykxmm，因此41(,)kPmm．又直线:(0)lykxmk与圆O相切，可得2||||1mOQk．所以222222161||||||1kmPQOPOQmk，所以2222211161||||||2211OPQkmmSPQOQmkk，将2241mk式代入上式可得2222224141411612111OPQkSkkkkk22222214(41)34(1)34142111kkkkkk22222192141(41)(1)kkkkk21321kk3112kk，由0k得12kk，10所以313124OPQSkk，当且仅当1k时等号成立，即1k时OPQS取得最大值．由22415mk，得5m，所以直线l的方程为5yx．10．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）如图，已知椭圆222210xyEabab：＞＞，4,0A是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且213213cosOACAOCOBBCBA，，．（1）求椭圆E的方程．（2）过椭圆E右焦点F的直线，交椭圆E于11,AB两点，交直线8x于点M，判定直线11,,CACMCB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612xy；（2）是，理由见详解.【解析】（1）由2OCOBBCBA，得2BACC，即2OACC，所以AOC是等腰三角形，又4aOA，∴点C的横坐标为2；又21313cosOACA，，设点C的纵坐标为Cy，∴222213132Cy，解得3Cy，应取(2,3)C，11又点C在椭圆上，∴22222314b，解得212b，∴所求椭圆的方程为2211612xy；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F，(2,3)C，由题意可知直线11,,CACMCB的斜率存在，设直线11AB的方程为(2)ykx，代入椭圆2211612xy并整理，得2222(34)1616480kxkxk；设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线11,,CACMCB的斜率分别为123,,kkk，则有21221634kxxk，2122164834kxxk，可知M的坐标为(8,6)Mk；∴12121312122323332222kxkxyykkxxxx1212124232142()xxkkxxxx，又263222182kkk；所以1322kkk，即直线11,,CACMCB的斜率成等差数列．11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）已知椭圆C：22221(0)xyabab过点2,1，且离心率为32（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l与椭圆C交于P、Q两点，且在直线2:260lxy上存在点M，使得MPQ12为等边三角形，求直线1l的方程。【答案】（Ⅰ）22182xy（Ⅱ）y=0或y=23x【解析】（Ⅰ）由题2222241132abceaabc解得a=22,b=2,c=6,椭圆C的方程为22182xy（Ⅱ）由题，当1l的斜率k=0时，此时PQ=42,直线2l:xy260与y轴的交点（0，26）满足题意；当1l的斜率k0时，设直线1:,lykx与椭圆联立22182ykxxy得2214kx=8,22814xk,设P（00xy，）,则Q（00xy，）,22222200002228188 ,,141414kkxyPOxykkk,又PQ的垂直平分线方程为1yxk，由1260yxkxy，解得26