考点52抛物线教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点52抛物线1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线2:4Cyx焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆2220xyx于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则14||||PMQN的值不可能为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】作图如下：可以作出下图，由图可得，可设PFm，QFn，则1PMm，1QNn，24yx，2p，根据抛物线的常用结论，有1121mnp，1mnmn，则mnmn，14||||PMQN1411mn4545()1mnmnmnmn又11(4)1(4)()mnmnmn441mnnm452mnnm，得49mn，454mn则14||||PMQN的值不可能为3，2答案选A2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线l交抛物线于点,AB，交其准线于点C，若4BCBF，且6AF，则p为（）A．94B．92C．9D．18【答案】B【解析】设准线与x轴交于点P，作BH垂直于准线，垂足为H由4BCBF，得：45BHBCPFCF由抛物线定义可知：BFBH，设直线l倾斜角为由抛物线焦半径公式可得：41cos5pBFBFPFpp，解得：1cos446131cos3144pppAFp，解得：92p本题正确选项：B3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（）A．B．3C．D．【答案】D【解析】∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，∴准线被双曲线截得的弦长为，∴，∴，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为.故应选D.4．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（）A．B．C．1D．3【答案】B【解析】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，根据抛物线的定义可得，，∴.解得，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到准线的距离为.故应选B.5．（四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学理）已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为()．A．2B．3C．4D．5【答案】B4【解析】设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故本题选B.6．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（）A．2B．2或4C．8D．8或16【答案】A【解析】设点的坐标为，,抛物线的焦点，抛物线的准线为，由抛物线的定义可知：①，因为以为直径的圆过点，所以有，代入①中得，，抛物线的焦点到准线距离为2，故本题选A.7．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学理）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为()A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的准线方程，∵抛物线上的点到其焦点的距离为，5∴，∴，即该抛物线的标准方程为，故选：A8．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知抛物线22xy上一点P到焦点F的距离为1，,MN是直线2y上的两点，且2MN，MNP的周长是6，则sinMPN（）A．45B．25C．23D．13【答案】A【解析】由题意，22p，则122p，故抛物线22xy的焦点坐标是10,2，由抛物线的定义得，点P到准线12y=-的距离等于PF，即为1，故点P到直线2y的距离为132122d.设点P在直线MN上的射影为P'，则3'2PP.当点,MN在P'的同一侧（不与点P'重合）时，352=622PMPNMN，不符合题意；当点,MN在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设'02PMxx，则'2PNx，故由22223322=622PMPNMNxx，解得0x或2，不符合题意，舍去，综上,MN在两点中一定有一点与点P'重合，所以24552sinMPN，故选A.9．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作'AAl，垂足为'A.若四边形'AAPF的面积为14，且3cos'5FAA，则抛物线C的方程为（）A．28yxB．24yxC．22yxD．2yx【答案】B【解析】6作出图形如下所示，过点F作''FFAA，垂足为'F.设'3AFx，因为3cos'5FAA，故5AFx，'4FFx，由抛物线定义可知，'5AFAAx，则''2AFxp，故2px.四边形'AAPF的面积52''21422pppPFAAPAS，解得2p，故抛物线C的方程为24yx.故选：B10．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知,AB为抛物线22(0)xpyp上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足为D，则||CD的最大值为（）A．2B．2C．22D．12【答案】A【解析】根据题意，222AB，∴22AB.设||||AFaBFb，，过点A作AQl于Q，过点B作BPl于P，由抛物线定义，得AFAQBFBP，，在梯形ABPQ中，∴2CDAQBPab，由勾股定理得，228ab，7∵2222282244abababCDab2222424abab„，所以2CD≤（当且仅当ab时，等号成立）.11．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知抛物线2:2Cypx（0p）的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点M在C上，直线MF与l交于点N．若3MFO，则MFMNA．14B．13C．12D．23【答案】C【解析】作MQ垂直l于Q，则在RT△MQN中，2MQN，6MNQ，所以12MFMQMNMN．选C．12．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）设抛物线24yx的焦点为F，已知点1,4Ma，1,2Nb，1,Pc，4,Qd都在抛物线上，则,,,MNPQ四点中与焦点F距离最小的点是（）A．MB．NC．PD．Q【答案】A【解析】抛物线24yx的焦点为F(1,0)，准线方程为1x；8则点1,4Ma到焦点F的距离为15||(1)44MF，点1,2Nb到焦点F的距离为13||(1)22NF，点P(1,c)到焦点F的距离为|PF|=1-(-1)=2点Q(4,d)到焦点F的距离为|QF|=4-(-1)=5；所以点M与焦点F的距离最小.故选：A13．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）抛物线24yx的焦点坐标为（）A．1,0B．()2,0C．10,8D．10,16【答案】D【解析】抛物线24yx的标准方程为214xy，故其焦点坐标为10,16，故选D.14．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．82B．8C．42D．4【答案】C【解析】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组241yxyx，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝21212436442xxxx．故选：C．915．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，02,My是C上一点，且2MF．（1）求C的方程；（2）过点F的直线与抛物线C相交于,AB两点，分别过点,AB两点作抛物线C的切线12,ll，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）24xy（2）见解析【解析】（1）解：根据题意知，042py①因为2MF，所以022py②联立①②解得01,2yp．所以抛物线C的方程为24xy．（2）四边形PAQB存在外接圆．设直线AB方程为1ykx，代入24xy中，得2440xkx，设点1122,,,AxyBxy，则216160k，且4,42121xxkxx所以2212||141ABkxxk，因为2:4Cxy，即24xy，所以'2xy．因此，切线1l的斜率为112xk，切线2l的斜率为222xk，由于121214xxkk，所以PAPB，即PAB△是直角三角形，所以PAB△的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径，所以点Q一定在PAB△的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆．又因为241ABk，所以当0k时，线段AB最短，最短长度为4，10此时圆的面积最小，最小面积为4．16．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知抛物线22(0)ypxp上一点3,2Mm到它的准线的距离为52．（1）求p的值；（2）在直线l上任意一点,2Pa作曲线C的切线，切点分别为,MN，求证：直线MN过定点．【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】（1）抛物线220ypxp（＞）的准线为2px,由已知得32Mm，到准线的距离为52∴35222p∴2p（2）证明：由已知可设112222lxmylxmy：，：由,2142yxxmy化简得21480ymy设1122AxyCxy（，），（，），则1214yym∴12Mym，又2122Mxm，即211222Mmm，同理可得：222222Nmm，∴211222122122102222MNmmkmmmmmm∴211121222MNymxmmm：即1212122yxmmmm11∵12ll，的斜率之积为-2∴12112mm即1212mm∴1213MNyxmm：即直线MN过定点30（，）当120mm时，不妨设1200mm＞，＜则122222mm，直线MN也过点30，综上，即直线MN过定点30，．17．（北京市人大附中2019届高三高考信息卷三理科）已知抛物线2:2Cypx过点(2,2)M，,AB是抛物线C上不同两点，且ABOM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q.（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行.【答案】(1)12x.(2)见解析.【解析】（Ⅰ）由题意得22=4p，解得1p．所以抛物线C的准线方程为122px．（Ⅱ）设211,2yAy，222,2yBy，由ABOM得1ABOMkk，则212221212122yyyyyy，所以212yy．所以线段AB中点Q的为纵坐标1Qy．直线AO方程为121122yyxxyy┅①12直线BM方程为222222222222yyxxyy