理论力学6变质量动力学课后习题

313图6-3第6章变质量动力学6-11变质量摆在阻力与速度成比例的介质中运动。摆的质量由于质点的离散，按已知规律)(tmm=而变化，且质点离散的相对速度为零。已知摆线长为l，摆上受到与其角速度成比例的阻力ϕβ&lF−=R（ϕ&为摆的角速度，β为常数）的作用，见图6-1。试写出摆的运动微分方程式。解0r=v，0=ΦF，ϕ&&la=tϕϕβϕsin)()(gtmlltm−−=&&&即0sin)(=++ϕϕβϕlgtm&&&6-2试写出火箭上升的运动微分方程式。火箭喷射气体的相对速度rv可看作常数，火箭质量随时间变化的规律为)(0tfmm=（燃烧规律），空气的阻力是火箭速度和它位置的已知函数：),(RRxxFF&=。解Φ+=FFv)e(ddtmr(e)ddddvFvtmtm+=r0R00)(),()()(vtfmxxFgtfmxtfm&&&&−−−=即r0R)()()(),(vtftftfmxxFgx&&&&−−−=6-3链条长l，每单位长度的质量为ρ，堆放在地面上，如图6-3所示。在链条的1端作用1力F，使它以不变的速度v上升。假设尚留在地面上的链条对提起部分没有力作用。求力F的表达式F（t）和地面约束力FN的表达式FN（t）。解以链条为研究对象，取轴y向上为正，根据变质量质点运动微分方程在铅直轴上的投影式有rdd)(ddvtmtPtvm+=（1）其中vgttFtPvvρ−=−=)()(,rvtmtvρ==dd,0dd代入式（1），得2)(0vvgttFρρ−−=故vgtvtFρρ+=2)(由题意，堆积在地面上的链条对提起部分没有力的作用，因此未提起部分链条的重力与地面约束力组成平衡力系。即)(t)(NvtlgvggltF−=−=ρρρ6-4如图6-4所示，1小型气垫船沿水平方向运动，初始质量为m0，以ckg/s的速率均匀喷出气体，相对喷射速度vr为常量，阻力近似地与速度成正比，即vFf−=。设开始时船静止，求气垫船的速度随时间变化的规律。解气垫船是依靠连续向外喷出气体而获得动力的，因此气垫船可视为1个变质量质点，应用变质量质点运动微分方程在水平方向轴上的投影有lOϕϕ&&lRFg)(tmϕ&图6-1xRFgmrv图6-2314图6-4rddddvtmFtvm−−=式中,dd,ctmfvF−==而ctmm−=0于是有rddcvfvtvm+−=r0dd)(cvfvtvctm=+−上式积分并注意到t=0时，v=0⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−∫∫00rr0rn11n11d0d0mctmccvfvcvfctmttfvcvvv⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=cftmcfcvv)1(10r6-5有1火箭，以等加速度a水平飞行，已知燃料喷射的相对速度vr=常数；火箭的起始质量为m0。如空气阻力不计，求火箭质量随时间变化的规律。解火箭可视为1个变质量质点，如图6-5所示。用变质量质点运动微分方程的水平投影式有rddddvtmFtvm−=其中0,,ddr===Fvatv常数tmvmaddr−=分离变量mmvtaddr−=上式两边积分mmmmtvatdd00r∫∫−=得tvammr0n1−=tvammre0−=6-6火箭起飞质量1000kg，其中包括燃料质量900kg，在t=0时，铅垂发射，已知燃料以10kg/s的速率消耗，并以相对速度2100m/s喷出。求t=0s，45s，90s时火箭的速度和加速度。解将火箭视为1个变质量质点，如图6-6所示。其运动微分方程在铅垂方向的投影式为rddddvtmFtvm+=（1）式中m/s1002,Nr−=−=vmgFrva)(tm图6-5315tmmgtvmdd1002dd−−=（2）分离变量mmtgvd1002dd−−=初始条件为t=0时，v=0，m=m0上式积分得m/sn110020mmgtv⋅−−=由于m0=1000kg，m=m0-10t=（1000-10t）kg故0001100001n11002tgtv−⋅−−=（3）由式（2）得m/sdd1002ddtmmgtva−−==把m及s/kg10dd−=tm代入上式得2m/s10000100021tga−+−=（4）把不同t值代入式（3）、式（4），得29039024545200m/s200,m/s1095.3,s90m/s4.28,m/s814,s45m/s2.11,0,0=×========°°°°avtavtavt时时时6-72级火箭中各级的质量分别为1m和2m，各级中包括的燃料质量分别为1mε及2mε。载荷的质量为pm。如果火箭的总质量为21mm+为给定值，且燃料喷射的相对速度rv=常数。试证明要使火箭在燃烧完时的速度为最大，则1m，2m应满足下面的条件：1222mmmmmpp=+并问当1.021=+mmmp时，火箭在燃烧完的速度为最大值时的质量比?/21=mm解（1）根据教材第II册第141页，例6-2有1级火箭末速为12121r1lnmmmmmmmvvPPε−++++=（1）2级火箭末速为222r12lnmmmmmvvvPPε−+++=（2）由式（1）、式（2）得)()ln(222`12121r2mmmmmmmmmmmmvvPPPPεε−++⋅−++++=由于mmm=+21为定值，故上式可改写成gmrvv图6-6316图6-7)())(ln(222`2r2mmmmmmmmmmmvvPPPPεε−++⋅−−++=)})1(ln(])1ln[()ln(){ln(222rmmmmmmmmmvPPPPεεε−+−++−−+++=为求使2v为最大的2m值，由于rv为常数，所以0])1(1)1(1[222r22=−+−−++−−+=∂∂mmmmmmmvmvPPPεεεεε即0])1(1)1(1222=−+−−++−−+mmmmmmmPPPεεεεε利用21mmm+=将上式化简得0))((22212=−−−PPmmmmmεε因1ε，所以有PPmmmmm1222=+结论得证。（2）将)(1.021mmmP+=代入上式得)(1.0))((1.0)(222121212122mmmmmmmmmmP−=−+=−=即212211mm=故32.311/21==mm6-8从漏斗中流下的砂子装入在铁道中运动的车厢内（如图6-7示）。已知砂子的流量为=q常数（kg/s），并且是静止地流入车厢内的，同时又有砂子从车厢漏到地面上，其流量为q′=常数（kg/s）。如能保持车厢运动的速度=v常数（m/s），求加在车厢上的水平力F的大小。解运动分2部分（1）并入质量qtm=dd1其相对速度ivv−=r1（2）放出质量'dd2qtm=其水平方向相对速度0r2=v由教材式（6-3）得21ddΦΦ++=FFFvtm其中0dd=tmv由教材式（6-2）得r22r11dddd0vvFtmtm++=即iiF0'0⋅+−=qqv所以iFqv=（→）6-9装有4个喷气发动机的飞机以300m/s的速度飞行，已知4个发动机具有同样的空317气流量，且空气排出的绝对速度为700m/s。若阻力正比于其飞行速度的平方，当只有2个发动机工作时，问飞机能保持多大的速度作匀速飞行。解发动机反喷相对速度m/s000-1m/s)300700(riiv=−−=设每台发动机排气流量为kg/sq，则4台发动机反推力24m/skg00014⋅×=iFqΦ开4台机的阻力为224Rm/skg00090300⋅−=×−=iiFk（k为阻力常系数）匀速时04R4==ΦFF所以kq000900004=（1）开2台机反推力22m/skg0001⋅×=iFqΦ开2台机阻力222Rm/skg⋅−=iFkv匀速时0R22=+ΦFF即kvq20002=式（1）、式（2）联立，解得m/s21200045==v6-10已知装有喷气发动机的飞机以1000km/h的速度匀速飞行，喷出空气的绝对速度为600m/s，作用于飞机上的空气阻力为16kN。如飞机由于排出燃料而减少的质量可以忽略，求从发动机排出的燃气的流量。解m/s278km/h0001iiv==m/s788)278600(riiv−=+−=0R=+ΦFFRrFqv=kg/s2.1887800016rR===vFq注：结果与原书不同，有待讨论。6-11喷气飞机以速度km/h800=v作匀速水平飞行，已知发动机排出燃气的流量为70kg/s，排出气体的绝对速度为600m/s。求（1）空气对飞机的阻力；（2）已知阻力与速度平方成正比，则当排出燃气的流量增至77kg/s（即增加1/10）时，飞机速度为多少？解（1）()m/s222m/s6003/1080031=×=v排气相对速度()m/s822m/s222600r=+=v（2）推力()N54057N822701=×=ΦF阻力N2844921R1−=−=kvF0R11=+ΦFF即5405728449=k（1）推力()N29463N822772=×=ΦF阻力21R2kvF−=3180R22=+ΦFF即2229463kv=（2）式（1）、（2）联立，解得m/s2332=v