2018-2019学年江苏省南京市高二(下)期中数学试卷

第1页，共14页南京市第二十七高级中学高二（下）期中测试试卷数学一、填空题（本大题共14小题，共70分）1.已知集合A={1，2，5，6}，B={2，3，4}，则A∩B=______．2.已知一组数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，那么x的值为．3.某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取______人．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70)，2.则样本在[10，50)上的频率是____.5.根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为________．6.如上图所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，图中阴影部分是以AB为直径的半圆，现在向矩形ABCD内随机撒一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则落在阴影部分内的概率是。7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为_____．8.已知条件:02px；1:1qx，则p是q的____条件．9.在如图所示的伪代码中，输入15，18，则伪代码执行的结果是________．10.阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为______．第2页，共14页11.已知P是椭圆22221xyab（a＞b＞0）上一点，F1和F2是其左、右焦点，直线PF2⊥x轴，交椭圆于另一点Q，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率为______．12.给出下列命题：其中真命题的序号是：______．①若ab＞0，a＞b，则11ab；②若a＞|b|，则a2＞b2；③若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d；④若a＜b，m＞0，则aambbm．13.函数f（x）=x3-12x+3，g（x）=3x-m，若对∀x1∈[-1，5]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的最小值是______14.已知函数212,ln2fxxxgxx，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x-1）恒成立，则整数m的最大值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？16.抛掷两次骰子，记第一次得到的点数为m，第二次得到的点数为n．（1）求m+n不大于4的概率；（2）求m＜n+2的概率．第3页，共14页17.已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．18.设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．第4页，共14页19.已知椭圆C焦点在x轴上，短轴长为2，离心率是32．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AB与椭圆C交于AB两点，直线AB的方程是y=x+1，求弦长|AB|．20.已知函数f（x）=ax2+lnx-x，a∈R且a≠0．（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1时，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范围．第5页，共14页答案和解析1.【答案】{2}【解析】解：集合A={1，2，5，6}，B={2，3，4}，则A∩B={2}．故答案为：{2}．直接利用交集的运算法则求解即可．本题考查交集的定义，交集的求法，是基础题．2.【答案】8【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．【解答】解：∵数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，∴8+9+x+10+7+6=8×6=48，解得x=8，故答案为8.3.【答案】12【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=，故应抽取的女运动员人数为84×=12，故答案为12．先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的总人数乘以此概率，即得所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．4.【答案】【解析】【分析】本题考查解决频率表中的频率问题，一般用到的公式是频率=频数÷样本容量.第6页，共14页求出样本容量，及样本在（10，50]上的样本频数，利用频率=频数÷样本容量，求出频率.【解答】解:由题意知样本容量n=20，样本在（10，50]上的频数为m=2+3+4+5=14，则频率是.故答案为.5.【答案】55【解析】【分析】本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键，属于基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5+…+10值．由于：S=1+2+3+4+5+…+10=55，故输出的S值为55．故答案为55.6.【答案】【解析】【分析】本题考查利用几何概型求概率，由面积之比求解，属于基础题.第7页，共14页【解答】解：矩形面积为2×1=2，半圆面积为，所以所求概率为P=.故答案为.7.【答案】【解析】【分析】本题考查古典概型及其概率公式，由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和大于5的情形，由古典概型的概率公式可得答案，属基础题．【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有=10种情况，和大于5的有（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3,5），（4,5）共6种情况，故所求的概率为.故答案为8.【答案】必要不充分【解析】【分析】本题主要考查命题间的逻辑关系，由题意先求出q命题x的取值范围即可得解.【解答】解：由题意，，解得：0＜x≤1，又∵∴p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.9.【答案】18；15【解析】【分析】本题考查输入输出语句的应用，属于基础题目.第8页，共14页根据语句进行交换变量即可.【解答】解：输入a=15,b=18,∵ab,∴t=15,a=18,b=15.输出a=18,b=15.故答案为18；15.10.【答案】-4【解析】【分析】本题考查循环结构的程序框图，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力.写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果.【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=-8，n=2；第二次循环得到：S=-4，n=1；退出循环，输出-4.故答案为-4.11.【答案】【解析】解：如图，设F2（c，0），△PQF1为等边三角形，可得：•=2c，∴2ca=b2=（a2-c2），可得2e=-e2，解得e=，∴该椭圆离心率为：．故答案为：．设F2（c，0），根据已知条件容易判断|PQ|第9页，共14页与2c的关系，列出方程即可求出离心率．考查椭圆的标准方程，椭圆上的点和椭圆几何量的关系，椭圆的离心率及计算公式的应用．12.【答案】①②【解析】解：对于①，若ab＞0，a＞b，两边同时乘以得，命题①正确；对于②，若a＞|b|，两边平方得a2＞b2，命题②正确；对于③，若a＞b，c＜d，则-d＞-c，∴a-d＞b-c，命题③错误；④若a＜b，m＞0，取a=-5，b=-3，m=1，满足已知，但不成立，命题④错误．故答案为：①②．直接利用不等式的性质逐一判断四个命题得答案．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．13.【答案】14【解析】解：f′（x）=3x2-12，可得f（x）在区间[-1，2]递减，在区间[2，5]递增，∴f（x）min=f（2）=-13，g（x）=3x-m，是增函数，∴g（x）min=1-m，∴只需f（x）min＞g（x）min即可，解得：m＞14，故答案为：14．根据导数数以及指数函数的性质，分别求出函数f（x），g（x）的最值，问题转化为求只需f（x）min≥g（x）min即可．本题考查了存在、任意问题，是一道中档题．14.【答案】4【解析】解：f′（x）=x-2，x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x-1）恒成立，第10页，共14页亦即m＜=+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为m＜+2对任意x＞1恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2．所以[p（x）]min=p（x0）==x0-1+2∈（4，5），所以m＜[p（x）]min=x0-1+2∈（4，5）故整数m的最大值是4．故答案为：4．问题等价于m（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）由频率分布直方图，知：（a+2.5a+4a+0.525+0.35）×0.5=1，解得a=0.15．（2）质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，由频率分布直方图得质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率为（4×0.15+0.525）×0.5=0.5625，∴在抽查的样本中一级产品共有：0.5625×80=45件．【解析】第11页，共14页（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）由频率分布直方图求出质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率，由此能求出在抽查的样本中一级产品共有多少件．本题考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．16.【答案】解：（1）抛掷两次骰子，得到（m，n）共有36种不同结果．…（1分）其中满足m+n不大于4的是：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）共6种不同结果．…（3分）所以所求概率为p==．…（5分）（2）满足m＜n+2的是（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，3）、（4，4）、（4，5）（4，6）、（5，4）（5，5）（5，6）、（6，5）（6，6）共26种不同结果，…（8分）所以所求概率为p==．…（10分）【解析】（1）抛掷两次骰子，得到（m，n）共有36种不同结果，利用列举法求出满足m+n不大于4的不同结果的种数，由此能求出m+n不大于4的概率．（2）利用列举法求出满足m＜n+2的不同结果的种数，由此能求出m＜n+2的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17.【答案】解：命题p：∃x