流体力学第二章三次

第二章第二章流体静力学流体静力学™流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条件求静压强分布，并求静水总压力。™静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体或理想流体。第二章第二章流体静力学流体静力学§2—1流体静压强及其特性§2—2流体的平衡微分方程§2—4非惯性系中液体的平衡§2—3重力作用下的液体平衡§2—5静止液体作用在物体表面上的总压力¾法向应力沿内法线方向，即受压的方向（流体不能受拉）。这个法向应力称为静压强，记作pn(x,y,z)，因目前还不知静压强是否与作用面方位有关，脚标中须标上作用面法线方向。¾法向应力沿内法线方向，即受压的方向（流体不能受拉）。这个法向应力称为静压强，记作pn(x,y,z)，因目前还不知静压强是否与作用面方位有关，脚标中须标上作用面法线方向。§2—1流体静压强及其特性•静止流体的应力只有内法向分量—静压强¾静止流体的应力只有法向分量（流体质点之间没有相对运动不存在切应力）。¾静止流体的应力只有法向分量（流体质点之间没有相对运动不存在切应力）。PnnPnnnp),,(),,(zyxpzyxnn−=¾静止流体中一点的应力在这个表达式中，已包含了应力四要素：作用点、作用面、受力侧和作用方向。在这个表达式中，已包含了应力四要素：作用点、作用面、受力侧和作用方向。•静压强的大小与作用面的方位无关¾在静止流体中取出以M为顶点的四面体流体微元，它受到的质量力和表面力必是平衡的，以y方向为例，写出平衡方程Y是质量力在y方向的分量zxAAnydd21),cos(dd==ynzyxVddd61d=dxdydzpxpnpzpyxyzno0d),cos(dd=+−VYApApnnyyρyn此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上的静压强，其中斜面的方位n又是任取的，这就证明了静压强的大小与作用面的方位无关。此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上的静压强，其中斜面的方位n又是任取的，这就证明了静压强的大小与作用面的方位无关。¾当四面体微元趋于M点时，注意到质量力比起面力为高阶无穷小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pz¾当四面体微元趋于M点时，注意到质量力比起面力为高阶无穷小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pzzyxnpppp===dxdydzpxpnpzpyxyzno¾静止流体的应力状态只须用一个静压强数量场p=p(x,y,z)来描述，有了这个静压强场，即可知道在任意一个作用点、以任意方位n为法向的面元上的应力为：¾静止流体的应力状态只须用一个静压强数量场p=p(x,y,z)来描述，有了这个静压强场，即可知道在任意一个作用点、以任意方位n为法向的面元上的应力为：np),,(),,(zyxpzyxn−=¾静压强pn(x,y,z)与作用面的方位无关，仅取决于作用点的空间位置，所以可将脚标去掉写成p(x,y,z)¾静压强pn(x,y,z)与作用面的方位无关，仅取决于作用点的空间位置，所以可将脚标去掉写成p(x,y,z)Pnn§2—2流体的平衡微分方程•平衡微分方程的推导表面力在y方向上的分量只有左右一对面元上的压力，合力为zyxypzxyyppzxpddddd)d(dd∂∂∂∂−=+−oyyppd∂∂+dxdzpxyzdy在静止流体中取出六面体流体微元，分析其在y方向的受力。在静止流体中取出六面体流体微元，分析其在y方向的受力。微元所受y方向上的质量力为zyxYdddρoyyppd∂∂+dxdzpxyzdy平衡方程为平衡方程为或同理有同理有和其中X,Y,Z是质量力f的三个分量。01=−ypY∂∂ρ01=−zpZ∂∂ρ0=−ypY∂∂ρ01=−xpX∂∂ρ称为静压强场的梯度。它是数量场p(x,y,z)对应的一个矢量场。称为静压强场的梯度。它是数量场p(x,y,z)对应的一个矢量场。01=∇−pρf01=−xpX∂∂ρ01=−ypY∂∂ρ01=−zpZ∂∂ρkjizpypxpp∂∂∂∂∂∂++=∇称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微分（对跟随其后的变量）运算的功能。用它来表达梯度，非常简洁，并便于记忆。称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微分（对跟随其后的变量）运算的功能。用它来表达梯度，非常简洁，并便于记忆。kjizyx∂∂∂∂∂∂++≡∇•平衡微分方程的矢量形式其中其中●平衡微分方程的物理意义这组微分方程又称为欧拉平衡微分方程，可综合表示为()dpXdxYdyZdzρ=++●等压面¾静止流体中压强相等的各点组成的面叫等压面。¾在等压面上¾等压面方程¾作用在静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面。0XdxYdyZdz++=0dp=0fdr⋅=rr§2—3重力作用下的液体平衡一.重力作用下的平衡方程01=∇−pρf0=xp∂∂0=yp∂∂01=+zpg∂∂ργρ−=−=gzpddkfg−=z轴垂直向上，流体不可压缩。z轴垂直向上，流体不可压缩。二.静压强分布规律积分γρ−=−=gzpdd•重力场中连通的同种静止液体中：①压强随位置高程线性变化；②等压面是水平面，与质量力垂直；③是常数。•重力场中连通的同种静止液体中：①压强随位置高程线性变化；②等压面是水平面，与质量力垂直；③是常数。γpz+Czp+−=γCpz=+γ或•要知道静止流体中具体的压强分布，关键是知道其中某一点的压强，从而确定积分常数C•要知道静止流体中具体的压强分布，关键是知道其中某一点的压强，从而确定积分常数C)(11zzpp−−=γγγ11pzpz+=+若z=z1时,p=p1,则或Cpz=+γ•如果静止液体有自由面，将自由面作为基准面z=0，自由面上的压强为p0，则•如果静止液体有自由面，将自由面作为基准面z=0，自由面上的压强为p0，则若令h=-z（向下为正），则若令h=-z（向下为正），则zppγ−=0hppγ+=0●1，2是连续、均质流体中的任意两点，两点的垂直坐标分别为，，静压强分别为，：¾静止流体中任一点的静压强由两部分组成：自由表面上的压强和深度的流体产生的压强。¾流体内的压强沿铅垂方向按线性规律分布。¾深度相同的诸点压强都相等，即当流体处于绝对静止时，其等压面为一组水平面。¾自由表面压强的任何变化，都会引起流体内所有流体质点压强的同样变化。（帕斯卡定理）1212ppzzggρρ+=+0p1z2z1p2p0phghρB三.绝对压强、相对压强、真空A绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强paO压强•压强p记值的零点不同，有不同的名称：•压强p记值的零点不同，有不同的名称：以完全真空为零点，记为pabs以完全真空为零点，记为pabs绝对压强绝对压强两者的关系为:pr=pabs-pa两者的关系为:pr=pabs-pa以当地大气压pa为零点，记为pr以当地大气压pa为零点，记为pr相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。相对压强相对压强真空压强真空压强BA绝对压强基准A点绝对压强B点真空压强A点相对压强B点绝对压强相对压强基准O大气压强paO压强•今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为p，若指绝对压强则特别注明。•今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为p，若指绝对压强则特别注明。•如果z=0为静止液体的自由表面，自由表面上压强为大气压，则液面以下h处的相对压强为γh，所以在液体指定以后高度也可度量压强，称为液柱高，例如：××m(H2O)，××mm(Hg)等。特别地，将水柱高称为水头。把真空压强转换成水柱高表示，称为真空度。•如果z=0为静止液体的自由表面，自由表面上压强为大气压，则液面以下h处的相对压强为γh，所以在液体指定以后高度也可度量压强，称为液柱高，例如：××m(H2O)，××mm(Hg)等。特别地，将水柱高称为水头。把真空压强转换成水柱高表示，称为真空度。hp=0hpγ=•一个工程大气压为98.10kN/m2，相当于10m(H2O)或736mm(Hg)•一个工程大气压为98.10kN/m2，相当于10m(H2O)或736mm(Hg)四.位置水头、压强水头、测压管水头•在静水压强分布公式中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。•在静水压强分布公式中，各项都为长度量纲，称为水头（液柱高）。Cpz=+γ¾——位置水头，以任取水平面为基准面z=0，铅垂向上为正。z¾——压强水头，以大气压为基准，用相对压强代入计算。γp¾——测压管水头。γpz+在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。γ/ApAzγ/BpBzOO测压管内的静止液面上p=0，其液面高程即为测点处的，所以叫测压管水头。γpz+•测压管水头的含义•测压管水头的含义如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何一点的测压管水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。γ/ApAzγ/BpBzOO•测静压只须一根测压管•测静压只须一根测压管•敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图•敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图总势能总势能位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和—测压管水头（总势能）是保持不变的。位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和—测压管水头（总势能）是保持不变的。γpz+•各项水头也可理解成单位重量液体的能量•各项水头也可理解成单位重量液体的能量位置势能，（从基准面z=0算起铅垂向上为正。）位置势能，（从基准面z=0算起铅垂向上为正。）zz压强势能（从大气压强算起）压强势能（从大气压强算起）γp•液体的平衡规律表明•液体的平衡规律表明五.测压原理αγγsinlhpA==测压管的一端接大气，这样就把测管水头揭示出来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。测压管的一端接大气，这样就把测管水头揭示出来了。再利用液体的平衡规律，可知连通的静止液体区域中任何一点的压强，包括测点处的压强。•用测压管测量•用测压管测量αA如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。ahpmmAγγ−=)(mAmmBBAhzhzpp+−++=γγγ即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差，这就是比压计的测量原理即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差，这就是比压计的测量原理•用比压计测量•用比压计测量流体的平衡规律必须在连通的静止流体区域（如测压管中）应用，不能用到管道中去，因为管道中的流体可能是在流动的，测压管不只是为测量静压用的。流体的平衡规律必须在连通的静止流体区域（如测压管中）应用，不能用到管道中去，因为管道中的流体可能是在流动的，测压管不只是为测量静压用的。hpzpzBBAA=+−+)()(γγ§2—4非惯性系中液体的平衡一.非惯性系中静止液体的平衡方程惯性系中静止液体的平衡方程惯性系中静止液体的平衡方程非惯性系中静止液体的平衡方程非惯性系中静止液体的平衡方程01=∇−pρfaf=∇−pρ101=∇−pρaf−这样非惯性系中平衡方程在处理上就和惯性系没有区别了。替代faf−用表面力中仍无切应力二.两个例子●相对于匀加速直线运动坐标系静止的液体●相对于匀加速直线运动坐标系静止的液体所有液体质点的加速度都是a，在新的位置状态下达到平衡，液体质点间没有相对运动。根据达朗伯原理，流体的受力为所有液体质点的加速度都是a