二次型的定义(精)

第六章二次型第一节二次型的定义及其矩阵表示定义1含有n个变量的二次齐次函数称为二次型。当aij为复数时，f称为复二次型。当aij为实数时，f称为实二次型，本章仅讨论实二次型。若令则22212111222121213131,1(,,,)222(1)nnnnnnnnfxxxaxaxaxaxxaxxaxxjiijaaij21211112121122121222222122(,,,)n1annnnnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxxxaxxax即把A称为二次型（1）对应的矩阵，A的秩称为二次型（1）的秩。1211(,,)nnnijijijfxxxaxx11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax若记则1211(,,,)'nnnijijijfxxxaxxxAx例1求二次型解222212122334(,,,)524nfxxxxxxxxx525210000100200004A对于二次曲面我们可以通过一个坐标旋转把二次曲面化为标准形从代数的角度看，化标准形的过程就是通过变量的坐标变换化简一个二次齐次多项式。22axbxycyd'cos'sincossin''sin'cossincos'xxyxxyxyyy即22''''axcyd我们下面推广坐标旋转变换的概念。定义2设变量x1，x2，…，xn能用变量y1，y2，…，yn表示为11111221221122221122111121112212222212(*)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycyxcccyyxcccyyCxcccyy即*式称为从变量y1，y2，…，yn到变量x1,x2，…，xn的线性变换，其中cij为常数（i，j=1，2，…，n）。矩阵C称为从变量y1，y2，…，yn到变量x1,x2，…，xn的过渡矩阵。当C为正交矩阵时，（*）称为正交变换，如坐标旋转变换就是正交变换。对于实二次型如果作正交变换x=Cy,则其中CAC仍是对称阵，y(CAC)y是y1，y2，…，yn的一个二次型。1211(,,,)'nnnijijijfxxxaxxxAx1211(,,,)'()'''nnnijijijfxxxaxxxAxCyACyyCACy因此我们只要找到正交矩阵C（即C＝C－1），使得CAC为对角阵，则f就化为只含有y1，y2，…，yn平方项而没有y1，y2，…，yn交叉相乘的项。称此y1，y2，…，yn的二次型为f的标准形。