高中学业水平测试数学复习教案--第18课时-圆的方程及应用

学业水平测试数学复习学案第18课时圆的方程及应用一．知识梳理1．圆的方程圆的标准方程222()()(0)xaybrr圆心坐标（a,b）半径r圆的一般方程220xyDxEyF圆心坐标（）半径注：方程220xyDxEyF表示圆的充要条件是2240DEF注：在求圆的方程时，常用到圆的以下性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；（2）圆心在任一弦的中垂线上；（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。2．直线与圆的位置关系（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。3、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，，半径分别为12,rr，则（1）当1212|OOrr时，两圆外离；（2）当1212|OOrr时，两圆外切；（3）当121212|OOrrrr时，两圆相交；（4）当1212|OO|rr时，两圆内切；（5）当12120|OO|rr时，两圆内含。4、圆的切线与弦长：①过圆222xyR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)Pxy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半a/2及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；②过两圆1:(,)0Cfxy、2:(,)0Cgxy交点的圆系为(,)(,)0fxygxy，当1时，方程(,)(,)0fxygxy为两圆公共弦所在直线方程.。二．课前自测1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x+1)2+(y－1)2=252.如果方程220xyDxEyF2240DEF所表示的曲线关于直线yx对称，那么必有__D=E__3.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜44.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于225.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为x=2或3x-4y-2=0.三．典例解析【例1】求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程。解答：设所求的圆的方程是222()()xaybr，则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为||2ab，∴222||()(7)2abr,即222()14rab………………………………………………①由于所求的圆与x轴相切，∴22rb………………………………②又因为所求圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0………………………………………………………………③联立①②③，解得a=1,b=3,2r=9或a=-1,b=-3,2r=9.故所求的圆的方程是：2222(1)(3)9(1)(3)9xyxy或【练习1】过点A(4,1)的圆C与直线10xy相切于点B(2,1)．求圆C的方程【解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线10xy垂直的直线上，又在点,AB的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10xy垂直的直线为30xy，,AB的中垂线为3x，联立方程303xyx，解得30xy，即圆心(3,0)C，[来源:学&科&网Z&X&X&K]半径2rCA，所以，圆的方程为22(3)2xy.【练习2】.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.由27040xyxy得31xy即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－21，∴l的方程为2x－y－5=0.【练习3】已知平面区域00240xyxy恰好被面积最小的圆222:()()Cxaybr及其内部所覆盖．(1)试求圆C的方程.(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点,.AB满足CACB,求直线l的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)OPQ构成的三角形及其内部,且△OPQ是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是5,所以圆C的方程是22(2)(1)5xy.(2)设直线l的方程是:yxb.因为CACB,所以圆心C到直线l的距离是102,即22|21|10211b解得:15b.所以直线l的方程是:15yx.【例2】在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线0xya交于A，B两点，且OAOB，求a的值.【思路点拨】第（1）问，求出曲线261yxx与坐标轴的3个交点，然后通过3个点的坐标建立方程或方程组求得圆C的方程;第（2）圆，设1122(,),(,)AxyBxy，121200OAOBOAOBxxyy，利用直线方程0xya与圆的方程联立，化简12120xxyy，最后利用待定系数法求得a的值.【精讲精析】（Ⅰ）曲线261yxx与坐标轴的交点为（0,1）（3）0,22故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有221-t3222+t2解得t=1,则圆的半径为31322t.所以圆的方程为()()229x3y1+=--.（Ⅱ）设A(),11yxB(),22yx其坐标满足方程组0xya91322yx消去y得到方程012)82(222axaax由已知可得判别式△=56-16a-4a20由韦达定理可得axx421，212221aaxx①由OAOB可得.02121yyxx又11ayx，axy22.所以20)(22121axxxxa②由①②可得a=-1,满足△0，故a=-1.【练习4】【练习5】在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy相切．（I）求圆O的方程；（II）圆O与x轴相交于AB，两点，圆内的动点P使PAPOPB，，成等比数列，求PAPB的取值范围．解：（I）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线34xy的距离，即4213r．得圆O的方程为224xy．…………（4分）（II）不妨设1212(0)(0)AxBxxx，，，，．由24x，得(20)(20)AB，，，．设()Pxy，，由PAPOPB，，成等比数列，得222222(2)(2)xyxyxy，即222xy．…………（8分）(2)(2)PAPBxyxy，，22242(1).xyy由于点P在圆O内，故222242.xyxy，由此得21y．所以PAPB的取值范围为[20)，．…………（12分）