固体物理Ch5.1--准经典运动

HUBEIUNIVERSITY3-Dec-12固体物理学SolidStatePhysics李岳彬E-mail:[e-mail]湖北大学物理学与电子技术学院Ch5晶体中电子在电场和磁场中的运动Ch4能带理论晶体周期势场中电子的能量本征值及相应的本征态，研究晶体中电子运动的基础晶体中电子系统的统计物理一般性原理Ch6金属电子论金属电子热容量和半导体电子的热激发电子的量子跃迁晶体的光吸收电子散射问题3方法一：解含外场的波动方程222UVEmr方法二：另一种方法是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。晶体中的电子在外加场的作用下——电场、磁场、掺入杂质势场等，如何描述电子的运动？外场与晶体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础采用两种方法进行讨论通常情况下，这只能得到近似解；条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的跃迁，不考虑电子的衍射、干涉及碰撞等。Ch5.1准经典运动4Ch5.1准经典运动1.准经典近似晶体中电子的能带理论：在具有晶体的平衡对称性的电势能中，电子的量子力学本征态可以由布洛赫电子的调制平面波的波函数来描述，能量本征值就是能带。为了计算晶体的电性质，要考虑在外加的电场中的布洛赫电子的量子态是非常困难的。解决办法：准经典近似－－把电子运动当作经典粒子来处理。固体中的电子对外加电磁场的响应有如一质量为有效质量的经典自由电子。原因：外加的电势能qV(r)可能破坏了布洛赫电子的哈密顿量的晶格平衡对称性。Ch5.1准经典运动5当我们讨论外场作用下晶体电子的运动规律时，我们首先要知道电子在任意波矢k状态的平均运动速度，根据量子力学，电子在晶体中平均速度为：**[]2kkkkvdm其中是描述k态的电子波函数，它具有布洛赫函数形式，经过较复杂的计算，可以证明k态电子的平均速度为：1kvEkk应当指出，上述结论并不是偶然的，因为一定的条件下，晶体中的电子可以近似当作经典粒子来处理，晶体中处于0状态的电子，在经典近似下其平均速度相当于以为0中心的由布洛赫波组成的波包的速度。因此，对于晶体中的电子，我们无需严格地根据量子力学方法，而只要已知E(k)函数，就可得到电子在晶体中运动的平均速度。Ch5.1准经典运动62.波包和电子速度波包是指该粒子空间分布在r0附近Δr范围内,动量取值在ћk0附近ћΔk范围内,Δr与Δk满足不确定性原理——量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，用一个波包来描述这个态——粒子的所有坐标与动量都有近似的数值,其精确度由量子力学测不准关系所限制粒子的波包构成把波包中心r0称为该粒子的位置,把中心ћk0称为该粒子的动量Ch5.1准经典运动7在晶体内可用布洛赫波组成波包。由于波包包含能量不同的本征态,必须考虑到时间因子,把布洛赫波写成(')'''(,)()Ektikrkkrteur0'kkk为了得到较稳定的波包,k’必须很接近于k0,如果把k’写成波包的波函数以量子态⇀0为中心的波包，把与k0邻近的各k’状态迭加起来可以组成与量子态k0相对应的波包⇀——很小势场周期性函数近似表示 ′⇀0⇀Ch5.1准经典运动8则k必须很小,将E(k’)展开到线性项00(')()()kkEkEkkE组成波包时k将限制在下列范围内22xyzkkk——小量这样波包函数⇀,⁄⁄⁄⁄⁄⁄⇀⇀⋅⇀⇀⇀⇀⇀⇀）⇀,≅⇀⇀⇀⋅⇀⇀⁄⁄⁄⁄⁄⁄⇀⋅⇀Ch5.1准经典运动9——为了分析波包运动只需分析电子的概率密度分布函数|Ψ|2,|⇀,||⇀⇀||⁄⁄⁄⁄⁄⁄⇀⋅⇀|⇀⋅⇀ ,  ,  Ch5.1准经典运动1010|⇀,||⇀⇀||⁄⁄⁄⁄⁄⁄||⇀,||⇀⇀||⁄⁄||⁄⁄||⁄⁄|其中,  ,  Ch5.1准经典运动11|⇀,||⇀⇀||⁄⁄||⁄⁄||⁄⁄||⁄⁄|~的曲线波函数主要集中在线度为1/Δ范围内,中心u=v=w=0Ch5.1准经典运动12|⇀,||⇀⇀||⁄⁄||⁄⁄||⁄⁄||⇀,||⇀⇀|0000kx0ky0kz1Ex()tk1Ey()tk1Ez()tk00kk1r(E)t粒子中心位置粒子的速度00kkk1v(E)波函数主要集中在线度为1/Δ范围内,中心u=v=w=0Ch5.1准经典运动13Δ必须很小,一般必须要求2a这表明2a因此在实际问题中,只能在这个限度内把电子看做准经典粒子。例如在输运问题中,只有当自由程远大于原胞的情况下,才可能把电子看做一个准经典粒子即波包必须远大于原胞00kk1r(E)t粒子中心位置粒子的速度00kkk1v(E)22xyzkkk——小量——波包的限度Ch5.1准经典运动14一维紧束缚模型粒子的速度⇀⇀——速度最大能带底和能带顶⇀,  =0在一维紧束缚模型下——速度为零——速度最大电子的速度,  与自由粒子速度总是随能量增加而单调增加是不同的Ch5.1准经典运动162.在外力作用下状态的变化和准动量如果有外力F作用在电子上,在dt时间内外力对电子作功为dkFvt电子的能量也必有相应地变化。由于电子能量E(k)决定于状态k,这说明在外力的作用下,状态k必须有相应的变化dk,并且根据功能原理得ddkkkEFvt将▽kE=ћv(k)代入得到d0kkFvdtCh5.1准经典运动17从而得出结论在平行于vk的方向上ћdk/dt与F的分量是相等的。可证明在垂直速度的方向也相等,因此dkFdt上式和牛顿定律具有相似的形式,其中ћk取代了经典力学中的动量由于准经典运动中,以及在一些其它方面,ћk具有类似于动量的性质,因此常称为准动量但是,布洛赫函数并不对应于确定的动量（即不是动量的本征态),而且,ћk也不等于动量算符的平均值Ch5.1准经典运动184.加速度和有效质量电子状态变化基本公式d(k)Fdtkk1vEdvd1E(k)()dtdtk电子的速度电子的速度分量电子的加速度分量⇀1kvEkdkFdt这是晶体中电子准经典运动的两个基本关系式。从这两个基本关系式出发可以直接写出外力作用下加速度的公式Ch5.1准经典运动19ddd11dddEkEkkvttktkk221FEkkk电子的加速度分量⇀）⇀）将代入Ch5.1准经典运动20加速度分量的矩阵表示22222222222221xxyxzxxyyyxyyzzzzxzyzEEEkkkkkvFEEEvFkkkkkFvEEEkkkkk上式具有牛顿定律dv/dt=F/m的形式,只是一个二阶张量代替了1/m,称其为有效质量张量22222220010000xyzEkEkEk若选kx,ky,kz轴沿张量主轴方向,有效质量是对角化的Ch5.1准经典运动21在这种情况下,引入22*2Emk前式可简化为***xxxyyyzzzmvFmvFmvF更明显地表现出和牛顿定律的相似性由于有效质量是一个张量,一般来说,mx*,my*,mz*不一定相等,加速度和外力的方向可以是不同的有效质量是一个很重要的概念,它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来有效质量m*与电子质量m之间可以有很大差别,因为m*中实际包含了周期场的作用Ch5.1准经典运动22以简单立方晶体,紧束缚近似下的s能带为例,讨论有效质量的特点01()2{coscoscos}ssxyzEkJJkakaka可以验证,kx,ky,kz为主轴方向,有效质量为222*1*1*1222111(cos),(cos),(cos),222xxyyzzmkamkamkaaJaJaJ有效质量是k的函数,如在k=(0,0,0)点即能带底,有2***212xyzmmmaJ*2*21*0010000010200001xyzmmaJm有效质量张量约化为标量Ch5.1准经典运动23再如在k=(±π/a,±π/a,±π/a)点即能带顶,有2***2102xyzmmmaJ也约化为标量在这个例子中,能带底和能带顶的有效质量都是各向异性的,可以归结为一个单一的有效质量,这是立方对称的结果但是对于k=(±π/a,0,0)点,布里渊区侧面中心的X点22***2211,22xyzmmmaJaJ2211000102001aJ张量形式Ch5.1准经典运动24总之,有效质量并不是一个常数,而是k的函数。一般情况是一个张量,特殊情况可能约化为标量有效质量不仅可以取正值还可以取负值在一个能带底附近,有效质量总是正的;而在一个能带顶附近,有效质量总是负的能带底和能带顶分别代表E(k)函数的极小和极大,因此分别具有正值和负值的二级微商