高中数学-概率与统计问题高考考点专题突破复习题含答案(人教A版)

高中数学-概率与统计问题高考考点专题突破复习题含答案（人教A版）【考点自测】1．(2018·合肥模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320度以上的户数约为()(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A．17B．23C．34D．46答案B解析P(ξ320)＝12×[1－P(280ξ≤320)]＝12×(1－95.44%)＝0.0228，0．0228×1000＝22.8≈23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x，y，x，y相互独立，由题意可知0≤x≤4，0≤y≤4，|x－y|≤2，不等式组表示的平面区域如图所示．所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝S正方形－2S△ABCS正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.3．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________.答案25解析从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15.所以ξ的均值E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D(ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.4．已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011，则这个班男生的人数为________．答案33解析根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63－x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63－x63＝1011×x63，解得x＝33，故这个班男生的人数为33.5．(2017·广州模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．答案5%解析由k＝4.8443.841可认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.题型一古典概型与几何概型例1(1)(2017·榆林二模)若函数f(x)＝ex，0≤x1，lnx＋e，1≤x≤e，在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A.1eB．1－1eC.e1＋eD.11＋e答案B解析当0≤x1时，f(x)e，当1≤x≤e时，e≤f(x)≤1＋e，∵f(x)的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为e－1e＝1－1e，故选B.(2)(2017·山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A.13B.23C.12D.34答案C解析记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个、第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．跟踪训练1(1)(2017·商丘二模)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3中任取的一个数，b是从0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79B.13C.59D.23答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b20，即a2b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23.(2)(2017·青岛模拟)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．答案2－32解析易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S1＝(3－1)2＝4－23，又大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝S1S＝4－234＝2－32.题型二求离散型随机变量的均值与方差例2(2017·南京模拟)《最强大脑》是江苏卫视推出的国内首档大型科学类真人秀电视节目．该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克．某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立．(1)求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率；(2)求比赛结束时B队得分X的分布列和均值．解(1)记第i局A队胜为事件Ai(i＝1,2,3,4)，比赛结束时A队得分高于B队得分的事件记为C，则P(C)＝P(A1A2A3A4)＋P(A3)[1－P(A1A2A4)]＝12.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5.则P(X＝0)＝P(A1A2A3A4)＝116，P(X＝1)＝C13124＝316，P(X＝2)＝P(A1A2A3A4)＋C23124＝14，P(X＝4)＝C23124＝316，P(X＝5)＝116，P(X＝3)＝1－116－316－14－116－316＝14.X的分布列为X012345P1163161414316116E(X)＝0×116＋1×316＋2×14＋3×14＋4×316＋5×116＝52.思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．跟踪训练2受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．题型三概率与统计的综合应用例3(2018·济南模拟)2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入第二轮面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和均值．解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组、第4组、第5组中分别抽取3人、2人、1人．①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X012P25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．跟踪训练3经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值．解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X130，65000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3