东华大学高等数学实验考试大纲(带例题和书后习题)

计算题（6题共60%）：要求熟练使用MATLAB命令解题。第三~七章各至少1题。其中带号共出1题。第三章（1）用矩阵除法解线性方程组；（ch3.ex2）解线性方程组14235231543421431321xxxxxxxxxxx。A=[51–10;103–1;-1–105;0024];b=[1;2;3;-1];x=A\b解线性方程组123411932621531xxx。A=[41-1;32-6;1-53];b=[9;-2;1];rank(A),rank([A,b])ans=3,ans=3%相等且为x个数有唯一解；不等无解（最小二乘）；相等不为x个数无穷多解x=A\b（2）行列式det、逆inv；(ch3.ex6)p56411326153a=[41-1;32-6;1-53];det(a),inv(a),（3）特征值、特征向量eig；（ch3.ex6）411326153a=[41-1;32-6;1-53];[v,d]=eig(a)（4）线性方程组通解；(ch3.ex3)p58a=[2,1,-1,1;1,2,1,-1;1,1,2,1];b=[1,2,3]';rref([a,b])（5）矩阵相似对角化。P59第四章（1）用roots求多项式的根；p71roots([30-402-1])存在高次项237625685xxxx，求其所有根，进行验算p=zeros(1,24);p([1171822])=[5-68-5];x=roots(p),polyval(p,x)（2）用fzero解非线性方程；(ch4.ex2)p72eg4.3fun=@(x)x*sin(x^2-x-1);%一定是一元函数fplot(fun,[-2,0.1]);gridon;fzero(fun,[,])（3）用fsolve解非线性方程组；(ch4.ex5,ex6)p74%方程组在某点或某区域附近的解求解下列方程组在区域0,1内的解0.7sin0.2cos0.7cos0.2sinfun=@(x)[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))];[a,b,c]=fsolve(fun,[0.50.5])（4）用fminbnd求一元函数极值；（ch4.ex8）%极小值点，求极大值点fun2=inline([‘-’,str])clear;fun=@(x)x^2*sin(x^2-x-2);fplot(fun,[-22]);gridon;%作图观察x(1)=-2;x(3)=fminbnd(fun,-1,-0.5);x(5)=fminbnd(fun,1,2);fun2=@(x)-(x^2*sin(x^2-x-2));%将fun变号x(2)=fminbnd(fun2,-2,-1);x(4)=fminbnd(fun2,-0.5,0.5);x(6)=2fun=@(x)x.^2.*sin(x.^2-x-2);%注意用数组运算fun(x)（5）用fminsearch求多元函数极值；(ch4.ex8,ex9)p76close;x=-2:0.1:1;y=-7:0.1:1;[x,y]=meshgrid(x,y);z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9;mesh(x,y,z);gridon;%作图观察,可看到[00]附近极小值，[0-5]附近极大值fun=@(x)x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9;x=fminsearch(fun,[00])%求极小值fun2=@(x)-(x(2)^3/9+3*x(1)^2*x(2)+9*x(1)^2+x(2)^2+x(1)*x(2)+9);x=fminsearch(fun2,[0-5])%求极大值（6）最小二乘拟合polyfit、lsqcurvefit；(ch4.ex10)p76第五章（1）用diff或gradiet求导数；(ch5.ex4)p91t=0:0.01:1.5;x=log(cos(t));y=cos(t)-t.*sin(t);dydx=gradient(y,x)%这里dydx仅仅是个普通变量名plot(x,dydx)%dydx函数图，作图观察x=-1时，dydx的值约0.9%以下是更精确的编程计算方法[x_1,id]=min(abs(x-(-1)));%找最接近x=-1的点，id为这个点的下标dydx(id)（2）用trapz、quadl或integral求积分；(ch5.ex5)p93Ex5(2)方法一：fun=@(x)exp(2*x).*cos(x).^3;integral(fun,0,2*pi)方法二用trapz：x=linspace(0,2*pi,100);y=exp(2*x).*cos(x).^3;trapz(x,y)（3）用dblquad(二元)或triplequad(三元)求矩形区域重积分；(ch5.ex5(6))p94fun=@(r,th)sqrt(1+r.^2.*sin(th));dblquad(fun,0,1,0,2*pi)（4）一般区域重积分quad2d,integral2,integral3；(ch5.ex5(7))p94fun=@(x,y)1+x+y.^2;%必须用点运算clo=@(x)-sqrt(2*x-x.^2);dhi=@(x)sqrt(2*x-x.^2);integral2(fun,0,2,clo,dhi)（5）函数单调性分析；（6）曲线长度或曲面面积。(ch5.ex6)p90%先写参数方程x=2*cos(t);y=3*sin(t);%计算x'(t)=-2*sin(t),y'(t)=3*cos(t)%4*sin(t)^2+9*cos(t)^2=4+5*cos(t)^2fun=@(t)sqrt(4+5*cos(t).^2);quadl(fun,0,2*pi)ans=15.8654第六章（1）用ode45求解微分方程；(ch6.ex1(1))p107fun=@(x,y)x+y;[t,y]=ode45(fun,[0123],1)%注意由于初值为y(0)=1,[0123]中0不可缺（2）用ode45求解微分方程组；(ch6.ex1(2))p109fun=@(t,y)[-2*y(1)-3*y(2);2*y(1)+y(2)];[t,y]=ode45(fun,[010],[-2.7;2.8])plot(y(:,1),y(:,2))（3）用ode45求解高阶微分方程；(ch6.ex1(3))p109%高阶导数y''化为一阶(y')'，多变量(y,y')化为单变量x.%令x(1)=y,x(2)=y',化为方程组%x(1)'=x(2),x(2)'=0.01*x(2)^2-2*x(1)+sin(t)%初始值x(1)=0,x(2)=1.%运行下列指令clear;close;fun=@(t,x)[x(2);0.01*x(2)^2-2*x(1)+sin(t)];%fun表示两个方程的右端，注意第一个x(2)表示x(1)的导函数。[t,x]=ode45(fun,[05],[0;1]);x(end,1)plot(t,x(:,1))（4）齐次线性常系数微分方程通解；(ch6.ex2)roots([1105413213750])得到-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000+0.0000i-1.0000-0.0000i%通解A1*exp(-3*t)*cos(4*t)+A2*exp(-3*t)*sin(4*t)+A3*exp(-2*t)+A4*exp(-t)+A5*t*exp(-t)（5）边值问题求解(bvpinit,bvp5c,deval)；(ch6.ex1(6))p111%令y(1)=x,y(2)=x',则方程为y'(1)=y(2),y'(2)=-2/t*y(2)+(2*y(1)+10*cos(log(t)))/t/tclear;close;sinit=bvpinit(1:0.5:3,[2;0])%边值x(1)=1,x(3)=3,估计x(t)=2,x'(t)=0.odefun=inline('[y(2);-2/t*y(2)+(2*y(1)+10*cos(log(t)))/t/t]','t','y');bcfun=inline('[ya(1)-1;yb(1)-3]','ya','yb');sol=bvp5c(odefun,bcfun,sinit)t=linspace(1,3,101);y=deval(sol,t);plot(t,y(1,:),sol.x,sol.y(1,:),'o',sinit.x,sinit.y(1,:),'s')legend('解曲线','解点','粗略解')y1=deval(sol,1.5:0.5:2.5);y1(1,:)第七章（1）符号对象syms,vpa,subs；(ch7.ex2)p125symsa;A=[12;2a];iA=inv(A),[v,d]=eig(A)（2）符号函数factor,expand,simple；p129（3）符号极限limit,symsum；(ch7.ex4,ex5)p131symsxy;limit((3^x+9^x)^(1/x),x,inf)s1=limit(log(2*x+exp(-y))/sqrt(x^3+y^2),x,0,'right');s2=limit(s1,y,0,'right')symsknx;s1=symsum(k^2,k,1,n);s1=simple(s1)s2=symsum(k^(-2),k,1,inf);s2=simple(s2)s3=symsum(1/(2*n+1)/(2*x+1)^(2*n+1),n,0,inf);s3=simple(s3)（4）符号微积分diff,taylor,int；(ch7.ex6,ex10)p131symsxyz;s=sin(x^2*y*z);s=diff(s,x,2);s=diff(s,y,1);s=subs(s,{x,y,z},{1,1,3})symsxy;f=(x-y)^3*sin(x+2*y);Ix=simple(int(f,y,-x,x))（5）符号解方程solve,vpasolve,dsolve；(ch7.ex12,ex13)P135symsx;solve(5*x^23-6*x^7+8*x^6-5*x^2)symsab;[sa,sb]=vpasolve([a==0.7*sin(a)+0.2*cos(b),b==0.7*cos(a)-0.2*sin(b)],[a,b],[0.5,0.5])三、编程题（10%）：要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for,while,if等语句以及关系与逻辑运算，M函数编写。主要属于第二章内容，也可结合第三~六章计算实验出题。例如（1）极限，级数等；(2)分段函数图；（3）迭代法编程；(4)迭代法解方程编程；(5)数值微分算法编程；(6)数值积分算法编程；（7）微分方程数值解法编程。四、建模题（10%）结合第三~六章建模实验出题。例如（1）投入产出模型；（2）矩阵迭代；（3）贷款和利息；（4）方程模型；（5）极值问题；（6）数据拟合问题；(7)积分应用；（8）微分方程模型；（9）其它应用问题。注意：（1）总体难度搭配；（2）A、B卷难度平衡；（3）应包含的考点：多个变量的向量表示法，数组点运算，冒号运算，对数函数,指数函数，三角函数，循环语句，作图，M函数等。