有理数角度的三角函数值何时是有理数

有理数角度的三角函数值何时是有理数100071北京丰台二中甘志国(特级教师)定理设nQ，则(1)当且仅当3060kn或kk(180Z)时，nsinQ(且1210sin，，n)；(2)当且仅当kn60或kk(90180Z)时，ncosQ(且1210cos，，n)；(3)当且仅当lklkkn,;24(45Z)时，ntanQ(且1,0tann).证明定理,须用到一些引理.下面先给出该定理的两个推论：推论1设nQ，则(1)当且仅当kn30或kk(4590Z)时，n2sinQ(且1,23,22210sin，，n）；(2)当且仅当kn30或kk(4590Z)时，n2cosQ(且1,23,22210cos，，n)；(3)当且仅当lklkkn,;36(30Z)或mmn(4590Z)时，n2tanQ(且3,1,33,0tann).证明由公式nn2cos1sin22nn2cos1cos22nnnnnn222tan1tan12cos,2cos12cos1tan及定理(2)可证.推论2三边长度均是有理数的三角形若有内角的度数是有理数，则该内角的大小只能是9060，或120.证明由余弦定理及定理(2)可得.引理1]1[当nZ时，定理成立.引理2]2[(1)若既约分数ppq(N*q,Z)1),(,qp是关于x的整系数多项式方程naaxaxaxannnn,0(001110N*)的根，则naqap,0；(2)最高次项系数为1的整系数多项式方程的有理根是整数且是常数项的约数(请注意：任意整数(当然包括0)都是0的约数).引理3设mN*，则存在mmbbbaaa2101210,,,,,,,Z且100ba，使mmmmmmaaaaaam222222201212331tan)1(tantantantantan2tan(当m2tan,tan均有意义时)①mmmmmmbbbbbbm22220121212331tantantan)1(tantantan)12tan((当)12tan(,tanm均有意义时)②(可用数学归纳法同时证得结论①②成立.)引理4定理(3)成立.证明只证nQ的情形.由引理1(3)知，只需证明：当n是正分数且不是正整数即可设qppqn,,N*1),(,2,qpp时，ntanQ(因为ntan有意义).(1)当p是正偶数时，可设mmp(2N*)，得q是正奇数(所以qtan有意义).在结论①中可令mqn2，假设ntanQ，得①的右边是有理数，所以①的左边qtan也是有理数.由q是正奇数及引理1(3)得1tanq，所以可把得到的结论①变为关于ntan的最高次项系数为1、常数项为1的m2次整系数多项式方程.再由引理2(2)得1tann，所以kkn(45180Z)，这与“n是正分数且不是正整数”矛盾！即此时ntanQ.(2)当p是正奇数时，可设mmp(12N*).在结论②中令12mqn，假设ntanQ：当qtan有意义时，在结论②中可令12mqn，得②的右边是有理数，所以②的左边qtan也是有理数.由引理1得0tanq或1.若1tanq，可把得到的结论②变为关于ntan的最高次项系数为1、常数项为1的12m次整系数多项式方程，同上可得矛盾！所以ntanQ.当0tanq时，kkq(290N*).当qtan无意义时，kkq)(12(90N*).但llq(90N*)时，1245)(9045129045mmlmln(易知该式的右边是既约分数).因为1]45)(90[tanml，所以由上面已证得的结论，得nnntan1tan1)45tan(的值是无理数，也得ntanQ.即欲证成立.引理5(1)当n为正奇数时，存在231,,,naaaZ，使coscoscoscos2cos144221aaannnnnnn(2)若kmmk,(12180N*)是既约分数，且12180cosmkQ，则存在正整数2i，使imk2112180cos；(3)若kmmk,(12180N*)是既约分数，则12180cosmkQ.证明(1)即文献[1]的引理1(1).(2)在(1)中令12180,12mkmn后，由引理2(1)可证.(3)假设12180cosmkQ，得112180cos2122180cos2mkmk的值也是有理数.再由结论(2)得，存在大于1的正整数ji,使得jimkmk21122180cos,2112180cos，所以1212112ij由ji,是大于1的正整数，得1212112ij1221212ijj这是两个既约分数相等，所以它们的分子相等，得1j，与1j矛盾！所以欲证成立.引理6定理(2)成立.证明由引理1(2)知，只需证明：当n是正分数且不是正整数时，ncosQ.由文献[1]的“推论1(1)当ncos是无理数时，cos也是无理数”及引理1(2)知，只需证明：当kqmqn60(12或mkk,(90180N*)1)12,(,mq时，ncosQ.易知1cosn，所以2tan12tan1cos,cos1cos12tan222nnnnnn，得2tan2nQncosQ.kqmqn30(122或mkk,(4590N*)1)12,(,mq.当qtan无意义时，得n是既约分数mkmk,(12)12(180N*)，由引理5(3)知，ncosQ.当qtan有意义时，可得31,3,1,0tan2q.在公式②中可令122mqn，得2222222212231222tan2tan12tan)1(2tan2tan2tantannbnbnnbnbbnqmmmmmm③(1)当1tan2q时，由③可得012tan)2(2tan2221122nbbnm若ncosQ，得2tan2nQ，由引理2(2)得12tan2n，这将与“n是正分数且不是正整数”矛盾！得此时欲证成立.(2)当3tan2q时，由③可得032tan)6(2tan2221122nbbnm若ncosQ，得2tan2nQ，由引理2(2)得12tan2n或3，这也将与“n是正分数且不是正整数”矛盾！得此时欲证成立.(3)当31tan2q时，由③可得012tan)23(2tan32221122nbbnm若ncosQ，得2tan2nQ，由引理2(1)得12tan2n或31，这也将与“n是正分数且不是正整数”矛盾！得此时欲证成立.(4)当0tan2q时，得n是既约分数mkmk,(122180N*)，由引理5(3)知，ncosQ.证毕.定理的证明由引理6,4分别得(2)(3)成立，所以只需证(1).由引理1(1)知，只需证明n是分数且不是整数时成立：这由)90(cossinnn及(2)可得.猜想若nQ，则(1)当k是奇数时，nksinQnsinQ，nkcosQncosQ，nktanQntanQ；当k是非零偶数时，nksinQn2sinQ，nkcosQn2cosQ，nktanQn2tanQ.(2)当)0rad(nn时，tan,cos,sinQ.参考文献1甘志国.整数角度的三角函数值何时是有理数[J].中学数学教学，2013(1)：51-522王萼芳，石生明.高等代数.3版.北京：高等教育出版社，2003