柯西准则及其应用--毕业论文

第1页柯西准则及其应用摘要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0xx一种情形来讨论，本文将补给并详细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就0xx一种情形来讨论，即设函数()fx在00(;)Ux内有定义，00()limxxfx存在的充要条件是：任给0，存在正数()，使得对任何x，x00(;)Ux，都有()()fxfx．事实上，当0xx，0xx，x，x，x五种情形函数极限存在的柯西准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．1柯西准则的其它五种形式定理1.1设函数f在00(;)Ux内有定义．00()limxxfx存在的充要条件是：任给0，存在正数()，使得对任何x，x00(;)Ux，均有()()fxfx．证必要性设0()limxxfxA，则对任给的0，存在正数()，使得对00(;)xUx，有()2fxA．于是对00(;)xxUx，，有()()()()22fxfxfxAfxA．充分性设数列00(;)nxUx且0limnnxx，按假设，对任给的0，存在正数()，使得对任何x，x00(;)Ux，有()()fxfx．由于0()nxxn，对上述的0，存在N0，使得当nm，N时有00(;)nmxxUx，第2页从而有()()nmfxfx．于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列()nfx的极限存在，记为A，即()limnnfxA．设另一数列00(;)nyUx且0limnnyx，则如上所证，()limnnfy存在，记为B．现证BA，为此，考虑数列1122,,,,,,,nnnzxyxyxy：易见nz00(;)Ux且0limnnzx，故仍如上面所证，()nfz也收敛．于是，作为()nfz的两个子列，()nfx与()nfy必有相同的极限，所以由归结原则推得0()limxxfxA．证毕定理1.2设函数f在00(;)Ux内有定义．00()limxxfx存在的充要条件是：任给0，存在正数()，使得对任何x，x00(;)Ux，均有()()fxfx．以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．证充分性设数列na满足柯西条件，先证明na是有界的．为此，取1，则存正整数N，当1mN及nN时有1nmaa．由此得111111nnNNnNNNaaaaaaaa．令121max1NNMaaaa，，，，．则对一切正整数n均有naM．于是，由致密性定理可知，有界数列na必有收敛子列kna，设limknkaA．对任给的0，存在0K，当mnkK，，时，同时有2nmaa(由柯西条件)，2knaA（由limknkaA）．因而当取()kmnkK时，得到第3页22kknnnnaAaaaA．这就证明了limnnaA．有归结原则：0lim()xxfxA对任何0()nxxn有lim()nnfxA．充分性即证．必要性设limnnaA．有数列极限定义，对任给的0，存在0N当mnN，时有22mnaAaA，　，因而22mnmnaaaAaA．由归结原理知，即可证得．证毕注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．定理1.3充分大的M0，设函数f在()U内有定义．()limxfx存在的充要条件是：任给0，存在正数1()MM，使得对任何x1M，x1M，均有()()fxfx．证先证必要性．设()limxfxA，按照定义，0，110MMM，，1xxM，()2fxA，()2fxA．于是()()fxfx()fxA()fxA．再证充分性．设0，110MMM，，1xxM，()()fxfx．任意选取数列nx，limnnx．则对上述10M，10nmNnmNxxM，，，，．有()()nmfxfx．这说明函数值数列()nfx是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知()limxfx存在而且有极限．第4页证毕注上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义如果数列nx具有以下特征：0，0NnmN，，nmxx．则称数列是一个基本数列．定理1.4充分大的M0，设函数f在()U内有定义．()limxfx存在的充要条件是：任给0，存在正数1()MM，使得对任何x1M，x1M，均有()()fxfx．证必要性设()limxfxA，则对任给的0，存在正数1()MM，使得对任何1xM有()2fxA．于是对任何1xxM，有()()()()22fxfxfxAfxA．充分性设数列nx1,M且limnnx．按假设，对任给的0，存在正数1()MM，使得对任何1xxM，，有()()fxfx．由于()nxn，对上述的10M，存在0N使得当nmN，时有1nmxxM，，从而有()()nmfxfx．于是，按数列的柯西收敛准则，数列()nfx的极限存在，记为A，即()limnnfxA．设另一数列,nyM且limnny，则如上所证，()limnnfy存在，记为B．现证BA，为此，考虑数列1122,,,,,,,nnnzxyxyxy：易见,nzM且limnnz，故仍如上面所证，()limnnfz也收敛．于是，作为()nfz的两个子列，()nfx与()nfy必有相同的极限，所以由归结原则推得()limxfxA．第5页证毕定理1.5充分大的M0，设函数f在()U内有定义．()limxfx存在的充要条件是：任给0，存在正数1()MM，使得对任何1xxM，，均有()()fxfx．定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明．2归纳柯西准则在数学分析中的应用．2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．2.1.1用数列的柯西收敛准则证明确界原理．证设S为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为S的上界，而(1)不是S的上界，即存在S，使得(1)．分别取112nn，，，，则对每一个正整数n，存在相应的n，使得n为S的上界，而1nn不是S的上界，故存在aS，使得1nan．（1）又对正整数m，m是S的上界，故有ma．结合（1）式得1nmn；同理有1mnm．从而得11max(,)mnmn．于是，对任给的0，存在0N，使得当mnN，时有mn．由柯西收敛准则，数列n收敛．记limnn．（2）现在证明就是S的上确界．首先，对任何aS和正整数n有na，由(2)式得a，即是S的一个上界．其次，对任何0，由10()nn及(2)式，对充分大的n同时有122nn，．第6页又因1nn不是S的上界，故存在aS，使得1nan．结合上式得22a．这说明为S的上确界．同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界．2.1.2用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理证在闭域套nD的每一个闭域nD内任取一点nP，构成一个各点各不相同的平面点列nP，则对一切自然数P，由于npnDD，以1,,0(,)0()nnpnnnnPPDPPdn，因此(,)0limnnpnpp．由定义任给0，存在正整数N，使得当nN时，对一切自然数P，都有(,)nnppp，根据柯西准则nP收敛，记0limnnPP．现证012nPDn，，，，为此任意取定n，则因为对一切自然数12p，，，都有0limnpnpnnppPDDPP，，由定义知0P是nD的聚点，而闭域nD必为闭集，所以它的聚点012nPDn，，，，最后证明0P的唯一性，若还有012nPDn，，，，则由于10(,)0()nnnPPdn．，所以0000(,)0PPPP，．2.2柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出．2.2.1柯西准则在数列收敛性判定中的应用数列na收敛0NNmnN，，，有mnaa．数列na发散00NNmnN，，，，使得0mnaa．例1应用柯西收敛准则，证明数列na收敛222111123nan证对0，取2N，则对nmN，有222111(1)(2)nmaammn111(1)(1)(2)(1)mmmmnn112mnm．第7页而由2m知2m，故nmaa，由柯西收敛准则知数列na收敛．2.2.2柯西准则在函数极限存在性判定中的应用00()limxxfx不存在的充要条件是：00，对0，都存在x，x00(;)Ux，使得0()()fxfx．例2证明极限01sinlimxx不存在．证可取01，对任何0，设正整数1n，令112xxnn，．则有0(0;)xxU，，而011sinsin1xx．于是按照柯西准则，极限01sinlimxx不存在．2.2.3柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用因为无穷积分()afxdx的敛散性是由变上限函数()limtatftdt存在与否确定的．因此，可由函数极限()limxfx存在的柯西准则导出无穷积分()afxdx收敛的柯西准则：无穷积分()afxdx收敛120GauuG，，，有21()uufxdx．同理，由函数极限0()limttfx存在的柯西准则可直接推出瑕积分()bafxdx（a为瑕点）收敛的柯西准则：瑕积分()bafxdx（a为瑕点）收敛1200,uuaa，，，有21()uufxdx．例3设()fx在0,上连续可微，并且20()fxdx．如果()fxC(当0x时)，其中C为一常数．试证：()0l