一节多元函数的基本概念

1/5第八章多元函数微分法及其应用本章导航第七章中我们知道了多元函数的解析式对应什么图形，从这一章开始，我们进入讨论多元函数的微积分问题，首先讨论多元函数的导数与微分，即多元函数微分法及其应用。想一想上册讨论一元函数微分时设计了哪些内容呢？是不是第一章是一元函数的概念与极限（包括连续），第二章是导数与微分，第三章是导数的应用呢？那么和一元函数的内容相对应的，第八章讨论的内容包括了多元函数的概念、极限与连续，导数（偏导数）与微分（全微分），导数的应用等内容。第一节多元函数的基本概念本节导航本节内容对应于上册的第一章，内容涉及了多元函数的概念，多元函数的极限，多元函数的连续性，请先复习上册的第一章，再与之对照学习此节。内容精讲本节主要讨论多元函数的概念、极限与连续。但教材因为多元函数概念中用到“点集”这一名词，所以教材中的第一个大问题是平面点集。我们为了符合大家的思维习惯，我们先从这节的重点——多元函数的概念开始。教材中有与多元函数的精确定义，我们不再重复，下面我们只是从与一元函数的比较中引入多元函数概念。其实，在实际应用中，大家没必要去死记多元函数的概念，我们则只需要理解概念并会应用，这点是最重要的：能用你自己的语言说出什么时多元函数，并能之处看到的一个表达式是不是多元函数。所有我们学习的知识都是如此，并不是看你死记住了就行了，而是看你能不能理解你所学的知识，你能不能用所学的知识。一、多元函数的基本概念1.举例引入多元函数首先，我们知道14xy、22xy中的变量y都随着变量x变化而变化，我们说它们是函数，x是自变量，y是因变量。因为这两个函数中的自变量都只有一个x，所以从现在开始，我们称这两个函数为“一元函数”。下面，我们会想一下上一章学的平面与曲面方程，比如：平面0943zyx，也可变为943yxz；曲面2223yxz。现在我们用函数的观点看一下，这两个表达式中变量z都随着变量x和y变化而变化，x和y是自变量，z是因变量，因为这两个函数中的自变量都有两个x和y，所以我们称这两个函数为“二元函数”。类似地，有三个自变量的函数称为三元函数，等等，有n个自变量的函数称为n元函数。由一元函数推广到二元函数时，函数的性质会有本质的变化，而由二元函数推广到三元与三元以上的函数时，函数性质不会发生本质变化。所以，以后我们讨论多元函数时以二元函数为主即可。2.函数的两个基本与要素与一元函数相类似，多元函数的两个基本要素也为定义域与对应法则。我们遇到的的2/5多元函数大都由一个数学解析式给出，所以对应法则即由解析式确定，我们重点讨论定义域。在教材p6第二段有如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以是这个算是有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。这里需要说明，因为我们讨论多元函数以二元函数为主要对象，所以我们举几个二元函数的例子，求其定义域：函数)ln(yxz的定义域为}0),({yxyx；函数)arcsin(22yxz的定义域为}1),{(22yxyx这两个二元函数的定义域都是平面上的点集，所以我们有必要研究平面点集，这就是教材中的第一个大问题“平面点集”并由此推广到“n维空间”的由来，这些我们留待第二个大问题在讨论。下面我们先讨论二元函数的另一个性质，即它们的图形。3.二元函数的图形回想上一章空间解析几何中我们已经讨论了，比如二元函数943yxz的图形是一个平面曲面，二元函数2223yxz的图形是椭圆抛物面。这些曲面在xoy坐标面上的投影即为二元函数的定义域。二、平面点集n维空间上面再讨论二元函数的定义域是我们说道二元函数的定义域是平面点集，所以我们有必要讨论平面点集。在平面点集中，为例讨论二元函数的极限与连续，其中你非常常用就是一种特殊的平面点集“区域”，其实我们这个问题最重要的名词就是“区域”，而要说清楚什么是“区域”，教材中进行了很长的铺垫，包括“邻域”“内点”“外点”“聚点”“开集”“闭集”“连通集”等很多名词。大家记住，其实这里最重要的就是知道什么是区域。1.平面点集坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集，就像我们上面的例子中二元函数的定义域就是一些平面点集。特别地，二元有序实数组),(yx的全体，即},),{(2RyxyxRRR就表示坐标平面。下面为了将平面点集进行分类我们先讨论邻域的概念。①邻域上册中我们已经讨论了邻域概念，那时是针对一元函数讨论的。回想一下，一元函数中什么叫邻域),(aU？即点a附近的那些点，这些点与0P点近到什么程度呢？近到与a点的距离比要小的程度，用式子表达就是：}{),(axxaU，在几何上表示数轴上以a为中心，以0为半径的左右对称的开区间内部的点。下面我们将一元函数的邻域概念推广到二元函数的邻域概念。点),(000yxP是xoy平面上的一个点，则邻域),(0PU表示点0P附近的那些点，这些点与0P点近到什么程度呢？近到与0P点的距离比要小的程度，用式子表达就是：3/5})()(),{(}{),(202000yyxxyxPPPPU。在几何上，),(0PU就是xoy平面上以点0P为中心，0为半径的圆内部的点P的全体。与上册中邻域的几何表示比较一下，发现现在的邻域中的点在“面”上，而原来的点在“线”上。有了邻域概念，下面根据点与点集的关系，可以将点分为三种内点、外点、边界点。②内点、外点与边界点阅读教材p2图8-1左边关于内点、外点与边界点的定义，这里不再赘述。根据点集所属点的特征，可以定义一些平面点集，其中最重要的就是区域。③开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集与无界集阅读教材p3关于开集、闭集、连通集、区域、闭区域、有界集与无界集的定义，这里不再赘述。设(,,)xyzaaaa，(,,)xyzbbbb，即xyzaaiajak，xyzbbibjbk()()()(,,)xyzxyzxxyyzzxxyyzzxxyyzzabaiajakbibjbkaibiajbjakbkabiabjabkababab加法的交换律数乘的分配律减法与数乘运算有类似结果。请仔细阅读教材p295-297页上内容与例2，例3，学习例3后面的注意。三、向量的两种表示方法之间的相互转化向量的模、方向角向量有两种表示方法，第一种是向量由它的大小与方向确定；第二种是向量由它的坐标确定。既然用这两种表示方法都可以确定一个向量，那么这两种表示方法之间应该可以相互转化。1．已知向量的坐标求向量的大小与方向向量的模方向角设向量(,,)rxyz①求向量r的大小向量的模与两点间的距离请阅读教材p297-298内容并自己做例4、5、6②求向量r的方向方向角与方向余弦怎样才能说清楚空间中的一个向量的方向呢？我们是通过说明这个向量与三条坐标轴的夹角来说明它的方向的。要说明向量与三台条坐标轴的夹角，首先要说明什么是两个向量的夹角。请阅读教材p298倒数三段。教材中定义了向量r与三条坐标轴的夹角记为、、称为向量r的方向角，知道了向量的方向角就知道了向量的方向。那么知道向量r的坐标(,,)rxyz，怎样求向量的方向角呢？再观察图7-2，在直角三角形OPM中，OPM为直角，POM为向量r与x轴的夹角，OP为4/5角的邻边，OM为角的斜边，x是有向线段OP的值，故rxOMxcos在直角三角形OQM中可知rycos，直角三角形ORM中rzcos，从而向量r所对应的单位向量为)cos,cos,(cos),,(rzryrxrrer上式说明（1）一个向量所对应的单位向量的三个坐标分别为这个向量的三个方向余弦，所以知道一个向量的坐标，只需求出其单位向量确定方向余弦，进而求出方向角，这样就确定了该向量的方向。（2）因为单位向量的三个坐标是向量的方向余弦，所以1coscoscos2222．已知向量的大小与方向求向量的坐标已知向量的大小与方向，就是知道向量的模与方向余弦，于是),,()cos,cos,cos(zyxrrrerrr四、一个新角度去看向量的坐标------向量在轴上的投影在日光灯的正下方有一条木棍OM，木棍与日光灯所在平面与地面相交得到一直线L,木棍在日光灯的照射下会在L上有一个影子ON.但是因为要画图才能说明一条线段在一条直线上的影子，所以在运算中很难应用。我们知道，如果将影子和一个数建立起联系，那么数可以不用画图就能表示与计算。怎样用数说明有向线段在一个轴上的影子呢？并且既能说明影子的大小也能说明影子的方向呢？如图7-2所示，向量OMr是一条有向线段，考虑它在x轴上的影子。用垂直于x轴的光线去照射向量OM，则点M在x轴上的影子就是点P，即点P是过点M与x轴垂直的平面与x轴的交点，数学上我们将点P称为点M在x轴上的投影，于是向量OM在x轴上的影子即为OP，即向量OM在x轴上的影子是它在x轴上的分向量。下面的问题就是如何将这个分向量用一个数说明？因为xiOP，于是向量OM在x轴上的影子OP与唯一的一个数x一一对应，这样向量OM在x轴上的影子就可以用一个数x表示，数学上我们将这个数x称为向量OM在x轴上的投影，数x的绝对值表示影子的长短，数x的正负号表示影子的方向是与5/5x轴正向同向还是反向。上面我们已经知道数x是向量r的横坐标，现在知道数x又是向量r在x轴上的投影，所以一个向量的横坐标就是这个向量在x轴上的投影。请阅读教材p300内容并自己做例9.要点回顾重新阅读本节教材内容，运算律的推导可以不用看。先自己总结要点之后再与本书对照。1.空间点的坐标，各卦限、坐标面、坐标轴点的坐标特点2.),,zyxr坐标（、、与方向角模向量两种表示方法3.已知两点),,(111zyxA和),,(222zyxB，则),,(121212zzyyxxOAOBAB4.知大小与方向，求坐标)cos,cos,cos(,,rrrzyx5.知坐标，求大小与方向大小两点距离公式222zyxr方向),,()cos,cos,cosrzryrx（6.知向量坐标，就可求出任意两向量的和、差及数与向量的乘积见教材p296上公式由数与向量的乘积可得判断两向量平行的方法：两向量平行它们的坐标对应成比例7.一个新角度看向量的坐标：横坐标、纵坐标、竖坐标分别是该向量在对应坐标轴上的投影必做习题1.例题自己做一遍教材中本节的例题，不一定全仔细做，但要保证每道题能快速正确做出来2.基本题（必须会的题）★类型一：向量运算律、利用图形进行向量的运算1,2,3；类型二：空间直角坐标系中各种点的坐标的特点6，7，8，9，10，11；类型三：利用坐标进行向量的运算4，5，12，13，14，15，17，18，193.中等难度题▲164.必做题上面的基本题包括了本节习题的所有题目共19道题，将它们都做完需要花一定的时间，当然大家都做了更好，但如果时间紧张的话只需在上面三种类型的题目中选出几道题做会，那么同类型的也就会正确做出了.下面就是大家必须要自己动手做的并且要达到能迅速准确做出的题目,如果这几道必做题都不做,那我不敢保证你后面能否学好了.1,2,4,5,6,7,8,9,13,15,17,18,19