三角形的内角和与外角和

学习目标：1.熟练运用三角形的内角和定理2.理解并掌握三角形的外角性质3.熟练运用三角形的外角和定理预习导视：1.三角形的内角和是多少度？2.三角形的外角与不相邻的内角有什么关系？3.什么是三角形的外角和？4.三角形的外角和是多少度？撕一撕拼一拼活动一：3231平角：1800三角形的内角和是1800。证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于1800.辅助线的作法证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于1800.三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。ABC几何语言：在△ABC中∠A+∠B+∠C=180O∠A=180O–(∠B+∠C)∠A+∠B=180O-∠C做一做1、n=____x=_______y=_______n8172xx122y31272959直角三角形的两个锐角互余。结论2、在直角三角形中,∠C是直角，则∠A与∠B的和是多少？返回三角形按角大小分类：三角形锐角三角形（三个角为锐角）钝角三角形（一个角为钝角）直角三角形（一个角为直角）斜三角形（1）一个三角形中最多有个直角？（2）一个三角形中最多有个钝角？（3）一个三角形中至少有个锐角？（4）任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为.11260°在△ABC中，（1）已知∠A=80°，∠B=52°，则∠C=＿＿＿＿（2）已知∠A=80°，∠B-∠C=40°则∠C=＿＿（3）已知∠A+∠B=100°，∠C=2∠A，能否求∠A、∠B、∠C的度数？（4）已知∠A：∠B：∠C=1：3：5，能否求∠A、∠B、∠C的度数？48°30°如图,如果你从A走到B,再转向C走,能画出你转弯的角吗?ABCDBD是AB的延长线BC是△ABC的边定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角.你能说出∠CBD的边与△ABC的边的关系吗?三角形的外角相邻的内角不相邻的内角不相邻的内角三角形的外角与相邻内角互为补角。∠４与∠１+∠２的大小有什么关系？发现：∠１＋∠２＝∠４思考：如何说明∠ACD=∠B+∠ADABC结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。D∠ACD+∠ACB=180°∠A+∠B+∠ACB=180°所以，∠A+∠B=∠ACD解：ABC∵∠ACB是△ABC的外角∴∠ACB=∠A+∠B三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？ABCD2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。3、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。∠ACD=∠A+∠B∠ACD+∠ACB=180°∠ACD∠A∠ACD∠B三角形的一个外角与任何一个与它不相邻的内角之间又有什么关系呢？1、外角+相邻的内角=180˚返回三角形的外角和对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和。思考：三角形的内角和等于180°，那么三角形的外角和等于多少度？返回三角形外角和BCA123所以：∠1+∠2+∠3=360°∠1+=180°∠2+=180°∠3+=180°三式相加可以得到∠1+∠2+∠3+++=.∠ACB∠BAC∠ABC∠ACB∠BAC∠ABC540°而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°归纳结论：三角形的外角和等于360°如图：∠1＝25°，∠2＝95°，∠3＝30°，则∠4＝_______ADECB143230°练习练习1、如图：P是△ABC内的一点，延长BP交AC于点D,用“＜”表示∠1、∠2、∠A的大小关系______________________.ABCDP12∠A＜∠2＜∠1求证：∠A＜∠120°30°51°若∠ABP=20°∠ACP=30°∠A=51°,求∠1的度数？在△ABC中,1216∠A=∠B=∠C,求该三角形的形状。如图，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝60°，∠C＝45°，求∠ADB和∠ADE的度数做一做ABCDE如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，若∠B=46°，∠C=54°，你能求出∠DAE的度数吗？ECABD一块模板如图所示，按规定AF、DE的延长线相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连结AD，测得∠FAD=34°，∠ADE=63°，那么这块模板符合不符合规定？为什么？DAFEM34°63°如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()③②①(A)带①去(B)带②去(C)带③去(D)带①和②去C1、将一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角∠1＝______1如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？EDCBA12解：∵∠1＝∠A+∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）又∵∠2＝∠B+∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(∠A+∠D)+(∠B+∠E)+∠C=∠1+∠2+∠C=180°挑战！！！21ABPC思考题证明：PA+PBAB(1)PA+PCAC(2)PB+PCBC(3)∴(1)+(2)+(3)得2PA+2PB+2PCAB+AC+BC21∴PA+PB+PC(AB+AC+BC)如图,P为△ABC内任一点.试说明PA+PB+PC(AB+BC+AC)21CBAＯ１２在△ABC中，∠A=８０°，∠ＡBＣ和∠ＡＢC的平分线相交于Ｏ，（１）求∠ＢＯＣ的度数。（２）将∠A换个度数，那求出是多少？你能体会∠A和∠ＢＯＣ有什么关系吗？∠ＢＯＣ＝９０°+∠Ａ１２2、△ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？EDCBA例1如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80˚，∠BAC=70˚.求：解：(1)∵∠ADC是⊿ABD的外角(已知)∴∠ADC=∠B+∠BAD=80˚（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）又∵∠B=∠BAD（已知）（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180˚∴∠C=180˚-∠B-∠BAC=180˚-40˚-70˚=70˚（三角形的内角和为180˚）（1）∠B的度数；（2）∠C的度数。ABDC80˚（等量代换）402180B（等式的性质）3.、三角形的外角性质：1.三角形的内角和等于多少度？4.三角形的外角和等于多少度？5、在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。2.直角三角形的两个锐角是什么关系？②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。③三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。①外角+相邻的内角=180˚凭勤奋出成果向效率要质量