第5章级数与广义积分

71第五章级数与广义积分§5.1收敛性的讨论一、基本概念与收敛的必要条件1.级数与广义积分收敛性定义（1）设na是数列,则1nna称为级数.称nnaaaS21为级数1nna的前n项部分和.若数列nS收敛,则称此级数收敛,并称极限值nnSlim为级数1nna的和.(2)设xf是定义在ba,上的函数,其中*Rb,R.若对任意bat,,xf在ta,上可积,且极限tabtdxxflim存在,则称积分dxxfba收敛,或xf在ba,上广义可积,且记dxxfbatabtdxxflim.当Rb且xf在点b附近无界时,称b为瑕点.当b为或瑕点时,称dxxfba为广义积分.类似可定义a为时广义积分dxxfba的收敛性.设xf是定义在ba,上的函数,其中*,Rba,定义dxxfbadxxfcadxxfbc,其中bac,.若dxxfca与dxxfbc都收敛时,称积分dxxfba收敛,易证上述定义与c的选择无关.2.级数收敛的必要条件若级数1nna收敛,则0limnna.但是由广义积分adxxf收敛,不能推出0limxfx.例1存在,1上广义可积的正值连续函数xf,使得0limxfx.解定义函数)(xg如下:当211nnxn时,0)(xg;当2221111nnxnn时,22112)(nnxnxg;当12112nxnn时,12)(2nxnxg.其中n取遍任意自然数函数.)(xg的图像如图所示再令21)(xxgxf,则xf在,1上连续恒正,且1dxxf1dxxg121dxx1211nn是收敛的,但是02limxfx.例2设)(xf在,a上一致连续且adxxf收敛,证明0limxfx.证明由于)(xf在,a上一致连续,0,0,当baxx,'','且'''xx时,有'''xfxf.由于adxxf收敛,存在0M,当Mx.时,xxdttf.72由于xxxfdttfxxdtxftfxxdtxftfxxdt.所以xfxxdttfxxxfdttf2.即2xf.这证明了0limxfx.例3设)(xf在,a上单调递减非负且adxxf收敛,证明0limxxfx.证明由于adxxf收敛,0,存在0M,当Mx.时,xdttf2.又)(tf在xx2,上单调递减非负,从而xxf2xxdttf22.故有xxf220.因此当Mx2.时,xxf0,所以0limxxfx.例4设)(xf在,a上可微,)('xf可积,且当x时,)(xf单调递减趋于零.又adxxf收敛,试证adxxxf'收敛.证明首先)(xf非负.否则,若存在1x使得0)(1xf,则1xx时恒有0)(1xfxf,从而adxxf发散,而这与已知条件矛盾.其次由adxxxf'axxdfaxxdfaxxf)(adxxf,且adxxf收敛可知,adxxxf'收敛与否取决于xxfxlim是否存在.由例3证明过程可知0limxxfx.例5设)(xf在,a上有连续可微函数,积分adxxf和adxxf'都收敛.证明0limxfx.证明要证x,)(xf有极限,由归结原则,只要证nx恒有)(nxf收敛.事实上,由adxxf'收敛,由Cauchy收敛准则,0,存在aA,当Axx.,21时,恒有21'xxdxxf12xfxf.于是nx,存在0N,当Nmn,时,有Axxmn.,,从而mnxxdxxf'nmxfxf.所以)(nxf收敛.由归结原则xfxlim存在.下证0.若0,由局部保号性,存在0,当x时有02)(xf.从而A时AdxxfAA22)(时当A这与adxxf收敛矛盾.同理可证0也不可能,故0limxfx.73二、收敛的充分条件1.比较原则设1nna与1nnb都是正项级数,且存在0N,当Nn时,nnba.(1)若1nnb收敛,则1nna收敛;(2)若1nna发散,则1nnb发散.推论设1nna与1nnb都是正项级数,且存在0N,当Nn时,nnnnbbaa11.(1)若1nnb收敛,则1nna收敛;(2)若1nna发散,则1nnb发散.对广义积分有类似的比较原则.例6设nu是单调递增的正数列,证明(1)当nu有界时,111nnnuu收敛;(2)当nu无界时,111nnnuu发散.证明(1)由条件知nnulim存在,设uunnlim.因为110nnuu11nnnuuu11uuunn,nkkkuuu111111uuun11uuu)(n,由比较原则级数111nnnuu收敛.(2)当nu无界时,有nnulim.由于pnnkkkuu11pnnkkkkuuu11pnnkpnkkuuu1111pnnpnuuu11pnnuu,对固定的n,取充分大的p使得211pnnuu,则有2111pnnkkkuu.由Cauchy收敛准则,级数111nnnuu发散.练习设)(xf在,1上连续,对任意,1x有0)(xf.另外xxfxlnlnlim.试证若1,则1dxxf收敛.74证明因xxfxlnlnlim故0,存在1A,当Ax时有xxflnln,即xxxflnlnln,所以xxf1)(0(当Ax时).因1,故取10,于是1,所以11dxx收敛.由比较判别法1dxxf收敛.2.比式判别法设1nna是正项级数,若极限qaannn1lim存在，则(1)当1q时级数1nna收敛;(2)当1q时级数1nna发散.练习1试证如下级数收敛(1)2222222222;(2)6662663633.提示(1)令2222nA，nnAa21(其中00A),易证2limnnA.nnnaa1lim11222limnnnAAxxX222lim2121221lim2xX(归结原则).练习2设xf在0x的某邻域内有二阶连续导数，且0lim0xxfx．证明级数11nnf绝对收敛．证明1由0lim0xxfx得,00f,00f.又20limxxfx0''212'lim0fxxfx.由归结原则,2211limnnfn20limxxfx0''21f,故2211limnnfn0''21f,而级数121nn收敛,由比较判别法知11nnf绝对收敛．证明2由0lim0xxfx得,00f,00f.xf在0x某邻域内的二阶泰勒展式为22212100xxfxxfxffxf,10由xf连续知，0M，有Mxf，从而有2121nMnf故11nnf绝对收敛．75例7（比式判别法的推广）设1nna是正项级数,则(1)当1lim1nnnaa时,级数1nna收敛;(2)当1lim1nnnaa时,级数1nna发散.证明(1)设1lim1nnnaaq,存在0使得1q.由上极限的性质,存在0N,当Nn时11qaann.故有NNaqa1,NNNaqaqa212,………………………NppNaqa,由于等比级数ppq1收敛,由比较原则,1ppNa收敛,所以级数1nna收敛.（2）设1lim1nnnaaq,存在0使得1q.由下极限的性质,存在0N,当Nn时,11qaann.因此nnaa1,所以原级数是发散的.3.根式判别法设1nna是正项级数,若极限lannnlim存在，则(1)当1l时级数1nna收敛;(2)当1l时级数1nna发散.（根式判别法的推广）设1nna是正项级数,则(1)当1limnnna时,级数1nna收敛;(2)当1limnnna时,级数1nna发散.证明可仿照例7进行.4.Raabe判别法(极限形式)设1nna是正项级数且极限raannnn11lim存在.(1)若1r,则级数收敛;(2)若1r,则级数发散.证明取0使得10rr.存在0N,当Nn时,011raannn,由此得nraann011.取p满足01rp.由于011111lim00prnnnrpn,76故当n充分大时,011110pnnr,即pnnnr110.所以nnaa1pnn1ppnn111.因此由11npn收敛与比较原则的推论可知1nna收敛.(3)当n充分大时,有111nnaan,nnaa11111nnnn.由调和级数11nn发散与比较原则的推论可知1nna发散.例8讨论级数pnnn1!!2!!12的敛散性.解设pnnna!!2!!12,由于nnaan11pnnn2212122222122111pnnnnp)(n,(此处利用已知极限pxxpx11lim0),由Raabe判别法,当2p时级数收敛;当2p时级数发散;当2p时由Raabe判别法的证明过程知级数发散.推论0!!2!!12limnnn.例9讨论级数121!nnxxxn的敛散性.其中0x.解设nxxxnan21!.由于