平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角上一页返回首页下一页1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝______________向量垂直a⊥b⇔______________x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0上一页返回首页下一页2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝_________．3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________________．4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.x21＋y21（x2－x1）2＋（y2－y1）2上一页返回首页下一页判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．()(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．()上一页返回首页下一页【解析】(1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°.(2)√.由向量数量积定义可知正确．(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】(1)×(2)√(3)×上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：上一页返回首页下一页[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算(1)(2016·安溪高一检测)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于()A．12B．－12C．32D．－32(2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________.(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.上一页返回首页下一页【精彩点拨】根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．【自主解答】(1)因为a＝(1，2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－32.(2)a·b＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4.(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，所以2x－y＝2，3x＋2y＝5，解得x＝97，y＝47，所以c＝97，47.【答案】(1)D(2)14(3)97，47上一页返回首页下一页1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．上一页返回首页下一页[再练一题]1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝()A．(－15，12)B．0C．－3D．－11【解析】依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】C上一页返回首页下一页向量的模的问题(1)(2016·莱州期末)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A．4B．5C．35D．45(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【精彩点拨】(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由y＋4＝0知y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝45.故选D．(2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)，因此|a＋b|＝（－2）2＋42＝25，|a－b|＝4.【答案】(1)D(2)254上一页返回首页下一页向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.上一页返回首页下一页[再练一题]2．已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________.【导学号：00680057】【解】∵a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝x2＋（x＋2）2＝2x2＋4x＋4＝2（x＋1）2＋2≥2，∴|a＋b|∈[2，＋∞)．【答案】[2，＋∞)上一页返回首页下一页[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？【提示】cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.上一页返回首页下一页探究2已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？【提示】∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝λ－1.∵a，b的夹角α为钝角，∴λ－10，21＋λ2≠1－λ，即λ1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．上一页返回首页下一页(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．－2，12∪12，＋∞C．(－∞，－2)D．(－2，2)(2)已知a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m为何值？【精彩点拨】(1)可利用a，b夹角为锐角⇔a·b0a≠λb求解．(2)可利用两非零向量a⊥b⇔a·b＝0来求m.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)当a·b共线时，2k－1＝0，k＝12，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b0且a，b不同向．由a·b＝2＋k0得k－2，且k≠12，即实数k的取值范围是－2，12∪12，＋∞，选B．【答案】B(2)a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)，因为(a＋mb)⊥(a－b)，所以(a＋mb)·(a－b)＝0，即(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0，所以m＝233.上一页返回首页下一页1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x2＋y2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cosθ求θ的值．2．涉及非零向量a、b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．上一页返回首页下一页[再练一题]3．已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．【解】设a与b的夹角为θ，则a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.上一页返回首页下一页(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ0且cosθ≠－1，所以a·b0且a与b不反向．由a·b0得1＋2λ0，故λ－12，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，所以λ的取值范围为－∞，－12.上一页返回首页下一页(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ0，且cosθ≠1，所以a·b0且a，b不同向．由a·b0，得λ－12，由a与b同向得λ＝2，所以λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5B．4C．－2D．－1【解析】a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.【答案】D上一页返回首页下一页2．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A．【答案】A上一页返回首页下一页3．(2016·邢台期末)平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()【导学号：00680058】A．－4B．－2C．2D．4【解析】AD→·BD→＝(AC→－AB→)·(AC→－2AB→)＝AC2→＋2AB2→－3AC→·AB→＝8＋2－3×2＝4.故选D．【答案】D上一页返回首页下一页4．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.【解析】因为a＝(3，－4)，所以|a|＝32＋（－4）2＝5.【答案】5上一页返回首页下一页5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．【解】(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2，1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2，1)＝8－3＝5.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)上一页返回首页下一页学业分层测评点击图标进入…