高中数学必修一-零点存在性定理及典例

零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0那么，函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根定理的理解（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数例：函数y=f(x)=x2–ax+2在(0，3)内，①有2个零点.②有1个零点，分别求a的取值范围.解析：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下则(0)0(3)0003222ffaba②f(x)在(0，3)内有1个零点(0)011(3)03faf例1已知集合A={x∈R|x2–4ax+2a+6=0}，B={x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.【解析】设全集U={a|△=(–4a)2–4(2a+6)≥0}=3{|(1)()0}2aaa=3{|1}2aaa或若方程x2–4ax+2a+6=0的两根x1，x2均非负，则1212340,.2260.aUxxaaxxa因为在全集U中集合3{|}2aa的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.例2设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2–1=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a的值.【解析】∵A={x|x2+4x=0，x∈R}，∴A={–4，0}.∵A∪B=A，∴BA.1°当B=A，即B={–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,,1.10aaa解之得2°当B=，即方程x2+2(a+1)x+a2–1=0无实解.∴△=4(a+1)2–4(a2–1)=8a+8＜0.解得，a＜–1.3°当B={0}，即方程x2+2(a+1)x+a2–1=0有两个相等的实数根且为零时，3yxO2880,,1.10.aaa解得4°当B={–4}时，即需2880,168(1)10.aaa无解.综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a=1.