基于DSP的IIR设计(C语言编程)

基于DSP的IIR滤波器设计姓名：专业：学号：指导教师：日期：一、设计目的为了熟练使用DSP，在本课程结束之际，利用所学的数字信号处理知识设计一IIR滤波器，并在基于DSP平台的仿真软件CCS下通过软件模拟仿真实现基本的滤波功能，其中输入信号和滤波器的各个参数自行确定。首先可以借助Matlab来产生输入数据，并根据输入信号确定滤波器参数，然后根据产生滤波器参数在CCS下编写程序实现滤波器功能，最后进行滤波器性能的测试，完成本次课程设计。本设计中使用的信号为信息信号：signal=sin(2*pi*sl*n*T)高频噪声：noise=0.5*sin(2*pi*ns1*n*T)混合信号：x=(signal+noise)其中sl=1000Hz，ns1=4500Hz，T=1/10000。混合信号波形为滤波器输入信号波形，信息信号波形为输出信号波形，滤波器的效果为滤除两个高频噪声。二、IIR滤波器基本理论数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR滤波器与FIR滤波器相比，具有相位特性差的缺点，但它的结构简单，运算量小，具有经济、高效的特点，并且可以用较少的阶数获得很高的选择性。因此也得到了较为广泛的应用。（1）IIR滤波器的基本结构IIR滤波器差分方程的一般表达式为:)()()(10inybinxanyNiiNii式中x(n)为输入序列;y(n)为输出序列;和为滤波器系数。IIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应,在结构上存在反馈回路,具有递归性,即IIR滤波器的输出不仅与输入有关,而且与过去的输出有关.其传递函数为:NkkkMrrrZaZbzH101)(设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。IIR滤波器具有多种形式,主要有:直接型(也称直接I型)、标准型(也称直接II型)、变换型、级联型和并联型.二阶IIR滤波器,又称为二阶基本节,分为直接型、标准型和变换型.对于一个二阶IIR滤波器,其输出可以写成:a.直接型(直接I型)根据上式可以得到直接二型IIR滤波器的结构图.如图所示.共使用了4个延迟单元().图直接I型二阶IIR滤波器直接型二阶IIR滤波器还可以用图的结构实现.图直接I型二阶IIR滤波器此时,延时变量变成了w(n).可以证明上图的结构仍满足二阶IIR滤波器输出方程.b.标准型(直接II型)从图2可以看出,左右两组延迟单元可以重叠,从而得到标准二阶IIR滤波器的结构图,如图所示.由于这种结构所使用的延迟单元最少(只有2个),得到了广泛地应用,因此称之为标准型IIR滤波器.图标准型二阶IIR滤波器（2）设计方法及原理IIR滤波器的设计可以利用模拟滤波器原型，借鉴成熟的模拟滤波器的设计结果进行双线性变换，将模拟滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器，即根据模拟设计理论设计出满足要求的传递函数H(s)，然后将H(s)变换成数字滤波器的传递函数H(z)。设计IIR滤波器的基础是设计模拟滤波器的原型,这些原型滤波器主要有：①巴特沃兹(Butterworth)滤波器,其幅度响应在通带内具有最平特性；②切比雪夫(Chebyshev)滤波器,在通带内具有等波纹特性,且阶数小于巴特沃兹滤波器；③椭圆(Elliptic)滤波器,在通带内具有等波纹特性,且阶数最小。a.用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT)式中,T是采样周期。如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得kTjsXTjksXTzXkaskaezsT21)(1)(则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。j3/T/T－3/T－/Too－11jIm[z]Re[z]Z平面S平面图脉冲响应不变法的映射关系由上式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为TkjHTeHkaj21)(这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即0)(jHa2||sT才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即TjHTeHaj1)(但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。－3－2……)j(aΩHoo－23＝T)(ejHTπ2TπTπTπ2－图脉冲响应不变法中的频响混叠现象对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。脉冲响应不变法优缺点：从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。b.用双线性变换法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。o－11Z平面jIm[z]Re[z]/Tj11－/TS1平面S平面joo图双线性变换的映射关系为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现2tan21TT式中,T仍是采样间隔。当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将上式写成2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得TsTsTsTsTsTseeTTsTeeeeTs1111111122tanh2212/2/2/2/再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z=es1T从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：11112zzTssTsTsTsTz222121上两式是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。首先,把z=ejω，可得jTjeeTsjj2tan2112即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。其次，将s=σ+jΩ代入式，得jTjTz22因此222222||TTz由此看出，当σ0时，|z|1；当σ0时，|z|1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。双线性变换法优缺点双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单2tan2T值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图所示。由图7-7看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。－o2tan2T＝图双线性变换法的频率变换关系但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图所示。ooo)j(aΩH)(ejHooo)](earg[jH)]j(arg[aΩH图双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。三、IIR滤波器的MATLAB实现MATLAB辅助DSP实现IIR,其总体过程为在DSP中编写处理程序，在MATLAB中利用滤波器设计、分析工具(FDATOOL),根据指定的滤波器性能快速设计一个FIR,再把滤波器系数以头文件形式导入CCS中,头文件中MATLAB辅助DSP实现IIR数字滤波器含滤波器阶数和系数数组,在MATLAB中调试、运行DSP程序并显示、分析处理后的数据。使用该方法,便于采用汇编语言来实现程序。头文件名不变,当MATLAB中设计的滤波器系数改变时,相应头文件中系数也改变,方便程序调试、仿真。（1）输入信号的产生首先利用Matlab产生导入CCS的dat文件，具体实现如下代码所示sl=1000;%有效信号ns1=4500;%高频噪声fs=10000;%采样频率N=1000;T=1/fs;n=0:N;signal=sin(2*pi*sl*n*T);noise=0.5*sin(2*pi*ns1*n*T);x=(signal+noise);%待滤波信号figure(1)plot(x)figure(2)y=abs(fft(x));%待滤波频谱df=n*(fs/N);plot(df,y)f