计算方法模拟试题及参考答案

真题一1．填空（1）设近似数2250.0*=x是“四舍五入”得来的，则相对误差≤)(*xer_____;（2）设1)(3+=xxf，则差商=]3,2,1,0[f_________;（3）求积公式)33()33()(11ffdxxf+−≈∫−有______次代数精确度；（4）为提高数值计算精度，当正数x很大时，应将)111ln(+−xx写为_______________________；（5）=2212A的三角分解为==LUA__________________________。2．用迭代法（可任选）求方程3=+xex在（0，1）内的根的近似值1+nx。要求（1）说明所用方法为什么收敛；（2）4110−+≤−nnxx时迭代结束。3．设有线性方程组1231231232101.525101023xxxxxxxxx−+−=−−+=−−=。（1）将方程组中三个方程的上下次序适当调整，使得用高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)方法求解时对任意初始向量都收敛；（2）取Tx)0,0,0()0(=，求近似解)1(+kx，使得31max≤≤ix3)()1(10−+≤−kikixx。4．已知三阶连续可导函数)(xfy=的如下数据：ix0.251.0)(ixf0.501.0)(ixf′0.5试求满足插值条件()(),()()iiiipxfxpxfx′′==的二次插值多项式)(xp，并写出截断误差)()()(xpxfxR−=的导数型表达式（不必证明）。5．用最小二乘法确定xbayln+=中的常数a和b，使该函数曲线拟合于下列四个点：（1,2.5）,(2,3.4),(3,4.1),(4,4.4)(计算结果保留到小数点后第4位)。6．给定积分∫=21lnxdxI。（1）取定7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留5位）；（2）根据此表用复化Simpson求积公式求I的近似值（小数点后保留5位）；（3）为使复化Simpson公式所求近似值具有4位有效数字，试估计需要用到多少个节点处的函数值？7．给定初值问题：0sin2=++′xyyy，1)1(=y（1）写出欧拉(Euler)预估-校正法的计算格式；（2）取步长h=0.2，求)4.1(y的近似值（计算结果小数点后保留5位）。8．设有求解初值问题：),()(yxfxy=′，00)(yxy=的如下多步法计算格式1111[(,)(,)]nnnnnnnyaybyhcfxydfxy+−−−=+++确定参数dcba,,,应满足的方程组（不必求解），使该格式成为二阶格式。9．当R取适当值时，曲线2xy=就与222)8(Rxy=−+相切。使用迭代法求切点横坐标的近似值1+nx，使得3110−+≤−nnxx。（不必求R）真题二1．填空（每小题4分，共20分）（1）设近似数025.2,120.1,225.0*3*2*1===xxx都是有效数。则相对误差≈+)(*3*2*1xxxer___________；（2）矩阵A的谱半径)(Aρ和A的任何一种范数A的大小关系是____________；（3）数值求积公式)32(43)0(41)(10ffdxxf+≈∫的代数精确度为；（4）因为矩阵B的谱半径0)(Bρ，所以对任意初始向量)0(x，迭代格式,2,1,0,)()1(=+=+kgBxxkk不收敛_________（错或对）；（5）如果求解线性方程组的Jacobi迭代法不是对任意初始向量)0(x收敛，则相应的Gauss-Seidel迭代法（JGS）不是对任意初始向量)0(x收敛______（错或对）。2．（10分）用迭代法（非牛顿法）求方程032=−xex在（0，1）内的根的近似值1+nx。要求：（1）说明所用方法为什么收敛；（2）3110−+≤−nnxx时迭代结束。3．（15分）已知求解线性方程组=52105010010321xxxabba的Jacobi迭代法对任意初始近似都是收敛的．（1）试推断参数a和b应满足的条件；（2）取参数0=a，1=b，以及初始向量T)0,0,0(x)0(=，用Jacobi迭代法求解该方程组的精确解x．4．（10分）已知单调连续函数)(xfy=的如下数值表ix0.10.20.30.4)(ixf−2012用插值法求5.0)(=xf在区间)4.0,1.0(内的根的近似值α（小数点后保留五位）。5．（10分）设已知函数值miixf0)}({=，确定常数c，使平行于x轴的直线cy=按最小二乘原理拟合于该组数据。6．（15分）给定积分∫=2.214lnxdxxI。（1）取定7个等距节点（包括端点1和2.2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留四位）；（2）根据此表用复化Simpson求积公式求I的近似值（小数点后保留四位）；（3）试估计需要用多少个节点的函数值，使得用复化Simpson公式所求近似值的误差不超过41021−×。7．（10分）取步长1.0=h，求如下常微分方程初值问题=+=1y(0)0x,yxdxdy2的解函数在2.0=x处的近似值．要求：每步用Euler法进行预估，用梯形法进行一次校正，结果保留四位小数．8．（10分）设+++=212121x．试写出求x的迭代格式，讨论该格式的收敛性，并由该迭代格式求x的近似值，使迭代误差不超过001.0．真题三一、计算题（每题8分，共40分）1.已知有效数10.0*1=x，02.0*2=x，计算*22*1*)(xxy=的相对误差限。2.用LU分解求解线性方程组=+−=++=++15536264541022321321321xxxxxxxxx3.已知函数值表x－2－1012y01210试用多项式2210xcxccy++=拟合这组数据。4.用欧拉－梯形预估校正法求初值问题=≤+−=′0)0(10,1212yxxxyy的数值解，要求取步长h＝0.5。5.用乘幂法计算矩阵5126A=的按摸最大的特征值和对应的特征向量。（小数点后保留四位）二、（15分）已知方程1)1(=−xex在[1,2]内有惟一实根α。（1）试建立迭代格式,1,0,)(1==+kxxkkϕ，论证其关于初值)2,1(0∈x的收敛性；（2）求根α的近似值1+kx，使3110−+−kkxx。三、(15分)线性方程组的系数矩阵=5010010abbaA，试给出雅可比方法与高斯-赛德尔迭代法对任意的初始向量都收敛的充要条件。四、(15分)用插值法求在x=0与cosx相切，在2π=x与cosx相交的二次多项式)(2xp，并写出插值余项的表达式。五、(15分)已知43,21,41210===xxx。（1）以上述三点为求积节点，试建立计算积分∫10)(dxxf的插值型求积公式；（2）判断该求积公式的代数精确度。真题四一、选择题（下列各题有一个或多个正确答案，错选、多选、少选均不得分；每小题3分，共15分）（1）设x∈R，且0x≠，1()fxx=，则（）A．()fx与x的相对误差限互为倒数；B．()fx与x的相对误差限相等；C．()fx与x绝对误差限相等；D．()fx与x的绝对误差限互为倒数（2）矩阵A的谱半径)(Aρ和A的任何一种范数A的大小关系是()A．()AAρ；B．()AAρ≥；C．()AAρ；D．()AAρ≤（3）数值求积公式20141()(0)(1)(2)333fxdxfff≈++∫具有()次代数精确度.A．1B．2C．3D．4（4）为求方程3()10fxxx=−−=在1.5附近的根建立的如下几种迭代法中收敛的有()。A．311kkxx+=+；B．311kkxx+=−；C．111kkxx+=+；D．3112kkkxxx++−=（5）计算常微分方程初值问题的方法中，属于二阶方法的有（）。A．显式Euler公式；B．梯形公式；C．隐式Euler公式；D．Euler-梯形预估校正公式。二、简单计算或证明（每题6分，共30分）。1.设53()41fxxx=++，试求差商[0,1,2]f，[0,1,2,3,4,5]f，[0,1,2,3,4,5,6]f2.设012,,xxx是等距分布的三个点，等距为h，试推导如下数值微分公式：22102()1()[()()]26ffxfxfxhhξ′′′′=−+−3.设,0,1,,jxjn=为互异节点，求证：0()nkkjjjxlxx==∑(0,1,,);kn=其中：()jlx为Lagrange插值基函数。4.用矩阵直接三角分解法解如下方程组123112302111156xxx=−5.使用公式343VRπ=计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？三（10分）用复化Simpson求积公式计算定积分91Ixdx=∫，结果保留四位小数。四（13分）考察用雅可比迭代法解方程组1231231232216229xxxxxxxxx+−=−++=++=的收敛性，若收敛，取(0)(0,0,0)Tx=，求近似解(1)kx+，使得(1)()410kkiixx+−−≤（i=1，2，3）。五（12分）用迭代法求方程3()310fxxx=−−=在02x=附近的根，要求计算结果准确到四位有效数字。六（10分）求形如bxyae=（a,b为常数且0a）的经验公式，使它能和下表数据相拟合：ix1.01.251.501.752.00iy5.105.796.537.458.46七（10分）设有求解初值问题00(,)()yfxyyxy′==的如下格式11(3)2nnnnhyyff+−=+−如假设11(),()nnnnyyxyyx−−==，证明该格式为二阶格式。真题一参考答案1．（1）41022.2−×（2）1（3）3（4）))1(ln(+−xx（5）1121112．解法一（牛顿迭代法）：()3xfxxe=+−建立牛顿迭代格式为：131kkxkkkxxexxe++−=−+收敛性论证：因为(0)20f=−，(1)0.718280f=，所以方程在[0,1]内有根。因为()10,[0,1]xfxex′=+∈所以方程在[0,1]内有唯一根。又()0,[0,1]xfxex′′=∈当01x=时，有00()()0fxfx′′，所以01x=时牛顿迭代收敛。取初值01x=，迭代计算如下：01x=，10.8068243x=，20.7921350x=，30.7920600x=由于43210xx−−所以，满足精度要求的近似根为≈x30.7921x=解法二（非牛顿迭代法）：原方程等价于ln(3)xx−=，从而有迭代公式1ln(3)nnxx+=−，ln(3)()xxϕ−=因为131()12xxϕ=−≤′，(0,1)x∈且有0()1xϕ，(0,1)x∈所以对任意的0(0,1)x∈，迭代收敛..取00.5x=，计算得：1230.6931472,0.8358842,0.7720119xxx===4560.8010990,0.7879577,0.7939162xxx===7890.7912189,0.7924408,0.7918875xxx===1011120.7921381,0.7920246,0.7920760xxx===由于4121110xx−−所以，满足精度要求的近似根为≈x120.7921x=3．解：将三个方程交换次序得如下同解方程组，12312312310232101.52510xxxxxxxxx−−=−+−=−−+=此时，由于系数矩阵按行严格对角占优，因此Gauss-Seidel迭代法对任意初始向量均收敛.JGS迭代法的迭代格式为：(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.20.10.30.20.10.150.20.42kkkkkkkkkxxxxxxxxx++++++=++=++=++取(0)(1,