高等代数【北大版】4-2

三、数量乘法一、加法二、乘法四、转置§4.2矩阵的运算1．定义()()ijsnijijsnCcab设则矩阵(),(),ijsnijsnAaBb称为矩阵A与B的和，记作．即CAB一、加法111112121121212222221122nnnnsssssnsnababababababABababab§4.2矩阵的运算说明例如12345698186309153121826334059619583112.98644741113只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.§4.2矩阵的运算(1)交换律ABBA(2)结合律()()ABCABC(3)0AA(4)()0AA定义().ABAB2．性质3．减法§4.2矩阵的运算111nijijinnjikkjkcababab1,2,,,1,2,,isjm设则矩阵(),(),ijsnijnmAaBbsn其中(),ijsmCc称为与的积，记为．ABCAB1．定义二、乘法§4.2矩阵的运算①乘积有意义要求A的列数＝的行数.ABB②乘积中第行第列的元素由的第行ABAjii乘的第列相应元素相加得到．Bj注意106861985123321如不存在.§4.2矩阵的运算1111111nnssnnsaxaxbaxaxb（1）例1线性方程组1122(),,ijsnnxbxbAaBxbsX==令则（1）可看成矩阵方程.AXB§4.2矩阵的运算而无意义．BA4101031113,2102201134AB例2．921,9911AB1632,816AB2424,1236AB例3．00,00BA.ABBA§4.2矩阵的运算例4．12,1,2,33AB112321,2,3246,3369AB11,2,323BA(112233)(14)14§4.2矩阵的运算注意③未必．YXYAXA＝若，称A与B可交换．ABBA①一般地，.ABBA即且时，有可能．0A0B0AB②未必有或．000ABAB§4.2矩阵的运算2．矩阵乘法的运算规律(1)()()ABCABC(2)()ABCABAC(3)snnssnsnAEEAA()BCABACA(5)1111nnnnabababab(结合律)（分配律)(4)00,00AA§4.2矩阵的运算证：1）设(),(),()ijsnjknmklmrAaBbCc令(),(),iksmjlnrVABvWBCw其中11,.nmikijjkjljkkljkvabwbc的第i行第l列元素为VC11()mnijjkklkjabc1mikklkvc11mnijjkklkjabc的第i行第l列元素为AW1nijjljaw11()nmijjkkljkabc11nmijjkkljkabc11.mnijjkklkjabc结合律得证.§4.2矩阵的运算设为级方阵．定义An称为的次幂.kAkA11,,kkAAAAA3．矩阵的方幂定义,kkAAAA即,个§4.2矩阵的运算(3)一般地,();kkkABAB(2)(),,klklAAklZ(1),,klklAAAklZ性质().kkkABABABBAkZ11(4),.0000kkknnaakZaa§4.2矩阵的运算解:0010010010012A222210200例5．设求1001,00A.kA00100100201222223AAA32323003033§4.2矩阵的运算由此归纳出200021121kkkkkAkkkkkkk用数学归纳法证明之.当时，显然成立.2k假设时成立，则时，nk1nk§4.2矩阵的运算,001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA故对于任意都有k.00021121kkkkkkkkkkkA,00102111111nnnnnnnnnn§4.2矩阵的运算ijsnka称为矩阵A与数k的数量乘积．记作：.kA三、数量乘法1．定义设则矩阵,,ijsnAakP即111212122212.nnsssnkakakakakakakAkakaka§4.2矩阵的运算2．性质(1)()();AA(2)();AAA(3)();ABAB注:矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的线性运算.(4)1;AA(5)()()();kABkABAkB§4.2矩阵的运算(6)若A为n级方阵，;nkAkA(7)()();kAkEAAkE(数量矩阵与任意矩阵可交换)(8)();kElEklE(9)()()().kElEklE(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)§4.2矩阵的运算设的转置矩阵是指矩阵,ijsnAaA112111222212ssnnsnaaaaaaaaa记作或．ATA四、转置1．定义§4.2矩阵的运算2．性质(1)();AA(2)();ABAB(3)();ABBA(4)();kAkA(5)若为方阵，则;AAA();ABAB(6)()().RARA§4.2矩阵的运算（3）证：设111211112121222212221212,,smsmsssnnnnmaaabbbaaabbbABaaabbb中的元素为(,)ABji1,njkkikab从而中的元素为()(,)ABij中的元素为(,)BAij1,njkkikab又的第i行元素为12,,,,iinibbbB的第j列元素为A12,,,,jjjnaaa1nkijkkba1.njkkikab§4.2矩阵的运算设n级方阵,ijAa(1)若满足即A,AA3．对称矩阵反对称矩阵定义则称A为对称矩阵；,,1,2,,jiijaaijn(2)若满足即A,AA则称A为反对称矩阵.,,1,2,,jiijaaijn111211222212nnnnnnaaaaaaaaa12112212000nnnnaaaaaa§4.2矩阵的运算性质(2)对称，对称；kPkAA反对称，反对称．AkPkA(1)对称对称;,AB,ABAB反对称反对称．,AB,ABAB(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零．AA(1),nAAAA为奇数时，nAA0.A§4.2矩阵的运算i)对称，积对称吗?,ABAB想一想ii)反对称，积反对称吗?,ABAB皆为n级对称矩阵，证明：,AB例7已知皆为n级对称矩阵，,AB.ABBAAB对称证：若AB对称，则有AB()ABBA.BA反过来，若AB=BA，则有()ABBABA.AB所以AB对称.§4.2矩阵的运算例8设A为n级实对称矩阵，且，证明：20A0.A证：设,ijnnAa,AA1112111211221222122221212nsnsnnnnnnsnaaaaaaaaaaaaAAAaaaaaa21121**nkknnkkaa0.§4.2矩阵的运算210,1,2,,.nikkain0,1,2,,,1,2,,ikainkn0.A,,1,2,,ikaikn又皆为实数§4.2矩阵的运算练习1设列矩阵满足12,,,nXxxx1,XXE为n单位矩阵,2,HEXX证明:.HHEH是对称矩阵，且2已知111,2,3,1,,,,23A.nA求§4.2矩阵的运算1证:2HEXX2EXX2,EXXH.是对称矩阵H2HHH22EXX44EXXXXXX44EXXXXXX44EXXXX.E§4.2矩阵的运算2解:1112322133312A()nnA1()n()()()1111,,22333,13nnA13n13nA1111232321.33312n§4.2矩阵的运算附:共轭矩阵定义当为复矩阵时，用表示的共轭复数,记，称为的共轭矩阵.ijaAijaijaijaAAA(2);AA(3).ABAB运算性质(1);ABAB（设为复矩阵，为复数）BA,