江苏省2019-2020学年高三上学期八校联考数学试卷含附加题

-1-镇江2019-2020届高三上学期“八校联考”数学试卷数学Ⅰ试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1．已知集合1A，1B,5，则ABU▲．2．i是虚数单位，复数151ii=▲．3．如图伪代码的输出结果为▲．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[5075)，中的频数为100，则n的值为▲．5．某校有两个学生食堂，若三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为▲．6．已知是第二象限角，其终边上一点(,5)Px，且2cos3，则x的值为▲．7．将函数sin()3yx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是▲．8．已知函数23log(1),3()21,3xxxfxx满足()3fa，则a▲．9．已知实数,ab满足224549,aabb则ab最大值为▲．10．已知[0,]4，且1cos43，则44sin()sin()44▲．,AB,,abc3S←1Forifrom1to4S←S+iEndForPrintSBACDE-2-11．直角ABC中，点D为斜边BC中点，163,6,,2ABACAEED则AEEB▲．12．已知奇函数()fx满足(1)(1)fxfx，若当(1,1)x时1()lg1xfxx且(2019)1,(01)faa，则实数a▲．13．已知0,a函数(),()ln(xyfxaeygxeaxbe为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()yfx和()ygx均相切，则ba最大值是▲．14．若关于x的方程222(2)xxaxaexe有且仅有3个不同实数解，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知集合22log(4159),AxyxxxR，1,BxxmxR（1）求集合A；（2）若:pxA，:qxB，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90，且AB＝2AD＝2DC=2PD，E为PA的中点．（1）证明：DE∥平面PBC；（2）证明：DE⊥平面PAB．-3-17．（本小题满分14分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为,,abc，已知3cos5C．（1）若92CBCA，求ABC的面积；（2）设向量(2sin,3)2Bx，(cos,cos)2ByB，且x∥y，53b，求a的值．18．（本小题满分16分）已知梯形顶点在以为直径的圆上，米.（1）如图1，若电热丝由三线段组成，在上每米可辐射1单位热量，在上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧,ABCD和弦这三部分组成，在弧,ABCD上每米可辐射1单位热量，在弦上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．-4-图1图219.（本小题满分16分）设常数,aR函数2()2xxafxa（1）当1a时，判断()yfx在(0,)上单调性，并加以证明．（2）当0a时，研究()yfx的奇偶性，并说明理由。（3）当0a时，若存在区间[,]()mnmn使得()yfx在[,]mn上的值域为[2,2]mn，求实数a的取值范围．-5-20．（本小题满分16分）设函数()ln(0,,)Rbfxaxxxabx.（1）当0b=时，()fx在[1,)上是单调递增函数，求a的取值范围；（2）当1ab时，讨论函数()fx的单调区间；（3）对于任意给定的正实数a，证明：存在实数0x，使得0()0fx.-6-数学Ⅱ试题21．【选做题】本题包括,,ABC三小题，每小题10分.请选定其中两题（将所选题空白框涂．．．．．．．．．．．．．．．黑）．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵M121a，其中Ra，若点(1,7)P在矩阵M的变换下得到点(15,9)P，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12xtlyt（t为参数）与圆2:2cos2sin0C的位置关系．C.[选修4-5：不等式选讲]已知a、b、c是正实数，求证：a2b2＋b2c2＋c2a2≥ba＋cb＋ac.-7-【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布表和数学期望.23.设n是给定的正整数，有序数组122()naaa，，，同时满足下列条件：①11ia，,122in，，，；②对任意的1kln≤≤≤,都有2212liika≤．（1）记nA为满足“对任意的1kn≤≤，都有2120kkaa”的有序数组122()naaa，，，的个数，求nA；（2）记nB为满足“存在1kn≤≤，使得2120kkaa”的有序数组122()naaa，，，的个数，求nB．-8-参考答案1.1,52.32i3.114.10005.146.27.8.79.2310.6311.1412.21113.e14.(,0)115．解（1）集合A即为函数22log(4159)yxx定义域，即需241590xx----2分，即241590,xx即(3)(43)0xx---5分，得3(,3)4A-------7分（2）由111,11xmxmxmxmxm或即或，------9分则[1,)(,1]Bmm----10分因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集------11分即需31314mm或得144mm或-------13分所以实数m的取值范围是1(,][4,)4------14分16.证明（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，------2分，且EF＝DC＝12AB．故四边形CDEF为平行四边形，-----4分可得ED∥CF------5分又ED平面PBC，CF平面PBC，-------6分故DE∥平面PBC--------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD----11分ED平面PAD，故ED⊥AB．-------12分又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；---------13分PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB----------14分16.解（1）由CB→·CA→＝92，得abcosC＝92．………2分又因为cosC＝35，所以ab＝92cosC＝152．………4分)621sin(xy-9-又C为△ABC的内角，所以sinC＝45．所以△ABC的面积S＝12absinC＝3．………6分（2）因为x//y，所以2sinB2cosB2＝3cosB，即sinB＝3cosB．………………8分因为cosB≠0，所以tanB＝3．因为B为三角形的内角，0B，------9分所以B＝3．………………10分所以3314433sinsin()sincoscossin252510ABCBCBC----12分由正弦定理，53433sinsin4333102abaaAB------14分17.解：设，-------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值，此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分()48sing-----11分令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分18.解：（1）1a时，12212()1,,(0,),2121xxxfxxx且12xx21121212222(22)()()02121(21)(21)xxxxxxfxfx所以()yfx在(0,)上递减。---3分法二：(0,)x，22()2ln20(21)xxfx，所以()yfx在(0,)上递减。（2）0a时()1fx满足()()1fxfx，()yfx为偶函数。----4分1a时21(),21xxfx定义域0xx，且2112()()2112xxxxfxfx，()yfx为奇函数。-----6分01aa且时，定义域为2logxxa因21,log0aa，定义域不关于原点对称----7分，-10-因此()yfx既不是奇函数也不是偶函数。-----8分（3）22()122xxxaafxaa①当0a时，()yfx在2(log,)a和2(,log)a上递减则2122(*)2122nmmnaaaa两式相减得222(22)22222(2)(2)222(2)(2)2nmnmnmmnnmnmnmaaaaaaaaaaaaa即得2再代入得（*）1(2)2,1(21)(21)2nnmnaa此方程有解，如21,log3mn因此1a满足题意。----------11分②当0a时，()yfx在(,)递增，有题意()yfx在[,]mn上的值域为[2,2]mn知2122(**)2122mmnnaaaa即,mn是方程2122xxaa的两根，即方程2(2)(1)20xxaa有两不等实根，令20,xt即2(1)0tata有两不等正根。--------13分即需21212(1)40322322101322000aaaattaaaatta或------15分综上所述，1(322,0)a-----------------16分20.解：(1)当0b=时，()lnfxaxx；因()fx在[1,)上是单调递增函数，则1()0f