高中数学必修五第一章

1解三角形复习知识点一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).2.正弦定理的一些变式：sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；（4）RCBAcba2sinsinsin3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC2.推论：222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）2.设)(21cbap,))()((cpbpappS2【三角形中的常见结论】（1）CBA(2)sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC2cos2sinCBA,2sin2cosCBA;AAAcossin22sin,（3）若CBAcbaCBAsinsinsin若CBAsinsinsincbaCBA（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是60B.(8)ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形（注意：是锐角AABC是锐角三角形）(3)若BA2sin2sin，则A=B或2BA.例1.在ABC中，Abccos2，且abcbacba3))((，试判断ABC形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC中，1a，3b，030A，求的值3例3.在ABC中，内角CBA,,对边的边长分别是cba,,，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC的面积等于3，求ba,；（Ⅱ）若AABC2sin2)(sinsin，求ABC的面积．题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.例4.已知ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,，求证：BcCbacoscos.题型4【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？