数学建模-牙膏销售量的研究

1牙膏销售量的研究摘要本文从收集有关牙膏销售量数据开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合考虑这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。模块Ⅰ中，我们假设在1x和2x对y的影响独立，从而得到了方程：20112232yxxx在模块Ⅱ中，我们假设1x和2x对y的影响有交互作用，进一步得到新的方程：20112232412yxxxxx【关键字】线性回归模型相关系数一、问题提出由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型，预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量二、问题分析某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据。表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据2销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)13.853.80-0.055.57.3823.754.000.256.758.5133.704.300.607.259.5243.603.700.005.507.5053.603.850.257.009.3363.63.800.206.508.2873.63.750.156.758.7583.83.850.055.257.8793.83.65-0.155.257.10103.854.000.156.008.00113.904.100.206.507.89123.904.000.106.258.15133.704.100.407.009.10143.754.200.456.908.86153.754.100.356.808.90163.804.100.306.808.87173.704.200.507.109.26183.804.300.507.009.00193.704.100.406.808.75203.803.75-0.056.507.95213.803.75-0.056.257.65223.753.65-0.106.007.27233.703.900.206.508.00243.553.650.107.008.50253.604.100.506.808.75263.704.250.606.809.21273.753.65-0.056.508.27283.753.750.005.757.67293.803.850.055.807.93303.704.250.556.809.26MATLAB作图得到2.1如下所示（相关程序代码见附录1）；3图2.1牙膏销售量与销售价格、广告费用的关系图三、模型假设假设收集的数据均真实有效。四、定义与符号说明y~公司牙膏销售量1x~其它厂家与本公司价格差2x~公司广告费用y~被解释变量（因变量）12,xx~解释变量(回归变量,自变量)4~回归系数~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）五、模型的建立与求解（一）基于1x和2x对y的影响独立----模型Ⅰ1、作出图形，如下图：由数据y,x1,x2估计[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)输入y~n维数据向量x=[1x1x2x22]~n4数据矩阵,第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05)输出b~的估计值，bint~b的置信区间，r~残差向量y-xb，rint~r的置信区间Stats~检验统计量R2,F,p参数参数估计值置信区间β017.3244[5.728228.9206]β11.3070[0.68291.9311]图表标题012345678910-0.200.20.40.60.8价格差销售量销售量（百万支）线性(销售量（百万支）)5β2-3.6956[-7.49890.1077]β30.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000y的90.54%可由模型确定p远小于=0.05，2的置信区间包含零点(右端点距零点很近)，x22项显著。F远超过F检验的临界值，模型从整体上看成立，x2对因变量y的影响不太显著，可将x2保留在模型中。销售量预测22322110ˆˆˆˆˆxxxy价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4。估计x3→控制x1→通过x1、x2预测y。控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元。2933.8ˆˆˆˆˆ22322110xxxy（百万支）销售量预测区间为[7.8230，8.7636]（置信度95%）。上限用作库存管理的目标值，下限用来把握公司的现金流。若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在7.83203.729（百万元）以上。（二）基于1x和2x对y的影响有交互作用----模型Ⅱ参数参数估计值置信区间β029.1133[13.701344.5252]β111.1342[1.977820.2906]β2-7.6080[-12.6932-2.5228]β30.6712[0.25381.0887]β4-1.4777[-2.8518-0.1037]R2=0.9209F=72.777p=0.0000交互作用影响的讨论21422322110ˆˆˆˆˆxxxxxy价格差x1=0.12221.06712.07558.72267.30ˆ1xxyx价格差x1=0.32223.06712.00513.84535.32ˆ1xxyx65357.72x→1.03.011ˆˆxxyy价格优势会使销售量增加加大广告投入使销售量增加（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大→价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客的眼球六、模型的评价两模型销售量预测比较控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元。22322110ˆˆˆˆˆxxxy，2933.8ˆy（百万支），区间[7.8230，8.7636]21422322110ˆˆˆˆˆxxxxxy，272.38ˆy（百万支），区间[7.8953，8.7592]yˆ略有增加，预测区间长度更短七、附录附录：“图2.1各年度学费占教育经费的比例的情况”的程序代码x1=[-0.050.250.600.000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.010.200.100.500.60-0.050.000.050.55];x2=[5.56.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80];y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26]';X=[ones(30,1)x1'x2'(x2.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);rcoplot(r,rint)软件开发人员的薪金的研究摘要本文从收集有关软件开发人员薪金与资历、管理责任、教育程度的关系的数据开始，分析软件开发人员薪金和资历、管理责任、教育程度之间的关系出发，分别通过对这四个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后在综合考虑7这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。模块Ⅰ中，我们假设x1、x2、x3、x4对y的影响独立，从而得到了方程：443322110xaxaxaxaay模块二中，我们假设x1、x2、x3、x4对y的影响有交互作用，进一步得到新方程：426325443322110xxaxxaxaxaxaxaay【关键字】线性回归模型相关系数一、问题提出由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。建立软件开发人员的薪金与资历、管理责任和教育程度之间的模型，认识策略的合理性。二、问题分析一家技术公司人事部门欲建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系，分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考。为此，研究人员收集了46名软件开发人员的档案资料，如表1-2，其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学程度，3表示更高程度（研究生）表1-2软件开发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系编号薪金资历管理教育0113876111021160810303187011130411283102051176710306208722120711772202081053520109121952031012313302111497531112213713121319800313814114174011520263413161323140317128844021813245502191367750320159655112112366601222135261323138396022422884612251697871126148038022717404811282218481329135488013014467100131159421002322317410133323780101234254101112351486111013616882120237241701213381599013013926330131240179491402412568515134227837161243188381602441748316014519207170246193642001MATLAB作图得到图2.1牙膏销售量与销售价格、广告费用的关系图9图2.1软件开发人员的薪金与资历、管理责任、教育程度的关系图三、模型假设1.、假设资历每加一年薪金的增长是常数；2、假设管理、教育、资历之间无交互作用。四、定义与符号说明y~薪金x1~资历（年）10x2~非管理人员，管理人员，01x3~其他，中学，01x4~其他，大学，01a0，a1，a2，a3，a4~是待估计的回归系数~是随机误差五、模型的建立与求解（一）基于x1、x2、x3和x4对y的影响独立，得到模型443322110xaxaxaxaay参数参数估计值置信区间a011032[1025811807]a1546[484608]a26883[62487517]a3-2994[-3826-2162]a4148[636931]R2=0.957F=226p=0.000R2,F,p模型整体上可用资历增加1年薪金增长546，管理人员薪金多6883，中学程度薪金比更高的少2994，大学程度薪金比更高的多1