格林公式及其应用

第三节格林公式及其应用课题第3讲：第三节格林公式及其应用教学目的要求1.掌握格林公式;2.掌握平面上的曲线积分与路径无关的条件;3.掌握二元函数的全微分求积4.掌握定理3的证明方法.主要内容与时间分配1.格林公式30分钟2.平面上的曲线积分与路径无关的条件;30分钟3.二元函数的全微分求积20分钟重点难点格林公式;曲线积分与路径无关的条件.教学方法和手段启发式教学法.以讲授为主，使用电子教案课后作业练习习题10—3第153页2(3);3;4(3);5(4);7.一、格林公式1．单连通区域。设D为单连通区域，若D内任一闭曲线所围的部分都属于D。称D为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面D的边界曲线L的方向，当观测者沿L行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图10-3-1定理1（格林公式）设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(yxP和),(yxQ在D上具有一阶连续偏导数，则有dxdyyPxQD)(=LPdxQdy。L为D的取正向的边界曲线。证对既为X型又为Y型区域2L：)(2xy∵yP连续，DdxdyyP=dyyyxPdxxxba)()(21),(=dxxxPxxPba})](,[)](,[{1121图10-3-21L：)(1xy又21LLLPdxPdxPdx=dxxxPba)](,[11+dxxxPba)](,[21=dxxxPxxPba})](,[)](,[{2111∴LDPdxdxdyyP对于Y型区域，同理可证DdxdyyQ=LQdx∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,DDDD上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用：在格林公式中，取xQyP,，Ddxdy2=LydxxdyoyxL1L2ab∴21ALydxxdy说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立图10-3-3（2）记法Lydxxdy=Ddxdyyx（3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。（4）几何应用。例1计算Cdyyxdxxy)3()(L：9)4()1(22yx解原式=Ddxdy18)13(，3xQ，1yP例2计算星形线taytax33sincos围成图形面积)20(t解202223)sincos3sincossin3cos(2121dtttatattataydxxdyAL=832a二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2设区域G是一个单连通区域，函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是xQyP在G内恒成立。例1Ldyyxdxyx)()(1L：从)1,1(到)3,2(的折线；2L：从)1,1(到)3,2(的直线解1LQdyPdx=25)1()2(2131dxxdyy32L：)2(23xy,即12xy2)()(Ldyyxdxyx=25)]1(2)12[(21dxxxx图10-3-4定理3设),(yxP，),(yxQ在单连通区域D内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C，CQdyPdx=0。（2）对内任一曲线L，LQdyPdx与路径无关oyx(2,3)(1,1)L2L1（3）在D内存在某一函数),(yx使QdyPdxyxd),(在D内成立。（4）xQyP，在D内处处成立。证明（1）（2）在D内任取两点BA,，及连接BA,的任意两条曲线AEB，AGB∴BGAAGBC为D内一闭曲线由（1）知CQdyPdx，即AGBQdyPdx+BEAQdyPdx=0∴AGBQdyPdx=BEAQdyPdx图10-3-5（2）（3）若LQdyPdx在D内与路径无关。当起点固定在（00,yx）点，终点为),(yx后，则),(),(00yxyxQdyPdx是yx,的函数，记为),(yxu。下证),(yxu=),(),(00yxyxQdyPdx的全微分为),(yxdu=QdyPdx。∵),(yxP，),(yxQ连续，只需证),(yxPxu，),(yxQyu，由定义xu0()(,)limxuxxuxyx),(yxxu),(),(00yxxyxQdyPdx=),(yxu+),(),(yxxyxQdyPdx图10-3-6=),(yxu+xxxPdx∴),(yxxu),(yxu=xxxPdx=xP，),(yxxPP)10(即),(yxPxu，同理),(yxQyu。（3）（4）若),(yxdu=QdyPdx，可证yP=xQ，PxP，QyQyxPyP，xyQxQ，由QP,具有连续的一阶偏导数yxu2xyu2oyxEBAGx),(000yxMoyxM(x,y)N(x+,y)故yP=xQ（4）（1）设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区域。CQdyPdx=dxdyyPxQD)(=0。例2曲线积分LxydyyxedxxeI)2()(，L为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧。解令xePy，yxeQy2，则yexQ，yeyP∴I与路径无关。取积分路径为ABOA。IOAQdyPdx+ABQdyPdx图10-3-7=2010)2()1(dyyedxxy=272e例3计算Cyxydxxdy22，（1）c为以)0,0(为心的任何圆周。（2）c为以任何不含原点的闭曲线。解（1）令22yxyP，22yxxQ，22222)(yxxyyP，22222)(yxxyxQ，图10-3-8∴在除去)0,0(处的所有点处有yP=xQ，作以0为圆心，r为半径作足够小的圆使小圆含在C内，∴rCCQdyPdx=0，即CQdyPdxdrrxr202222sincos=20（2）∵yP=xQ∴CQdyPdx0三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx),(00yx),(yxoyx∵CQdyPdx与路径无关，则QdyPdx为某一函数的全微分为),(yxu=),(),(00yxyxQdyPdx=xxQdyPdx0+yyQdyPdx0注：),(yxu有无穷多个。图10-3-9例4验证：ydyxdxyxcos)sin2(是某一函数的全微分，并求出一个原函数。解令yxPsin2，yxQcosyxQcos，yyPcos∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00yx，图10-3-10),()0,0(),(yxQdyPdxyxu=xyydyxxdx00cos2=yxxsin2例5计算Cxxdymeydymyey)3()(23，c为从E到F再到G，FG是半圆弧解令myeyPx3，meyQx23meyyPx23，xeyyQ23，图10-3-11添加直线GE，则，原式+GEQdypdx=Dmdxdy=])22(211221[2m=)41(m∴原式=m)41(310dx=)41(m例6设)(xf在),(上连续可导，求dyyxfyyxdxyyxfyLL)],([),(1222，其中为从点)32,3(A到)2,1(B的直线段。解令yyxfyP),(12，]1),([22yxfyyxQ),(yx)0.(xoyxoyxF(2,1)E(1,0)G(3,0)oyxBACQPmxy图10-3-12222),(1)],(),(2[yyxfyyyxfxyyxyfyP=2321),(),(yyxfxyyxfyxQ)],([]1),([13222yxfyyxyxfyy2321),(),(yyxfxyyxfyxQyP，故原积分与路径无关，添CBAC构成闭路，∴原式+0ACBC∴原式=ACCB=dxxfdyyfyy)]32(941[23]1)([11322322dyyyfdxxf132322]1)([)]32(3223[ux3241)()(2323223223213ydyyfduufx练习1.证明：若)(uf为连续函数，而C为无重点的按段光滑的闭曲线，则0)()(22ydyxdxyxfc。2.确定的n值，使在不经过直线0y的区域上，dyyyxxdxyyxxIcncn222222)()(与路径无关，并求当C为从点)1,1(到点)2,0(B的路径时I的值。3．设),(yxf，),(yxg为L上的连续函数，证明dsgfgdyfdxLL22小结：1.格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。2.格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可。