1.3-三角函数的诱导公式(一)

§1.3三角函数的诱导公式(一)第一章三角函数学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cosα，sinα).知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.知识点二诱导公式三思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.知识点三诱导公式四思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.梳理公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.[思考辨析判断正误]1.诱导公式中角α是任意角.()提示正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.2.sin(α－π)＝sinα.()提示sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sinα.答案提示3.cos43π＝－12.()提示cos4π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.√4.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.()提示在角度制和弧度制下，公式都成立.×××题型探究＝－cos30°＝－32.类型一利用诱导公式求值命题角度1给角求值问题例1求下列各三角函数式的值：(1)cos210°；解答解cos210°＝cos(180°＋30°)(2)sin11π4；解答解sin11π4＝sin2π＋3π4＝sin3π4＝sinπ－π4＝sinπ4＝22.(3)sin－43π6；解答解sin－43π6＝－sin6π＋7π6＝－sin7π6＝－sinπ＋π6＝sinπ6＝12.(4)cos(－1920°).解cos(－1920°)＝cos1920°＝cos(5×360°＋120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；解答＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.解方法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.方法二sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)解答解方法一cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6(2)cos－31π6；＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.方法二cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.解答(3)tan(－945°).解tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.命题角度2给值求值或给值求角问题例2(1)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案√解析解析由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，可得－sinθ＝－3cosθ，|θ|π2，即tanθ＝3，|θ|π2，∴θ＝π3.(2)已知cosπ6－α＝33，求cos5π6＋α－sin2α－π6的值.解答解因为cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，所以cos5π6＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.反思与感悟(1)解决条件求值问题的策略①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2(2017·大同检测)已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为A.1B.－1C.13D.－13＝－sinβ＝－13.答案√解析解析由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)类型二利用诱导公式化简解答(1)tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)cos(α－π)sin(5π－α)；解原式＝sin(2π－α)cos(2π－α)·sin(－α)cos(－α)cos(π－α)sin(π－α)例3化简下列各式：＝－sinα(－sinα)cosαcosα(－cosα)sinα＝－sinαcosα＝－tanα.解答(2)1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°.解原式＝1＋2sin(360°－70°)cos(360°＋70°)sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝|cos70°－sin70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1.解答引申探究若本例(1)改为：tan(nπ－α)sin(nπ－α)cos(nπ－α)cos[α－(n＋1)π]·sin[(n＋1)π－α](n∈Z)，请化简.原式＝－tanα·(－sinα)·cosα－cosα·sinα＝－tanα；解当n＝2k时，当n＝2k＋1时，原式＝－tanα·sinα·(－cosα)cosα·(－sinα)＝－tanα.反思与感悟三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.解答跟踪训练3化简下列各式：(1)cos(π＋α)·sin(2π＋α)sin(－α－π)·cos(－π－α)；解原式＝－cosα·sinα－sin(π＋α)·cos(π＋α)＝cosα·sinαsinα·cosα＝1.(2)cos190°·sin(－210°)cos(－350°)·tan(－585°).解答解原式＝cos(180°＋10°)·[－sin(180°＋30°)]cos(－360°＋10°)·[－tan(360°＋225°)]＝－cos10°·sin30°cos10°·[－tan(180°＋45°)]＝－sin30°－tan45°＝12.达标检测1.已知tanα＝4，则tan(π－α)等于A.π－4B.4C.－4D.4－π答案12345√解析解析tan(π－α)＝－tanα＝－4.2.sin585°的值为A.－22B.22C.－32D.32答案解析12345√＝－sin45°＝－22.解析sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)3.已知sin5π7＝m，则cos2π7等于A.mB.－mC.1－m2D.－1－m2答案解析12345√解析cos2π7＝cosπ－5π7＝－cos5π7＝－－1－sin25π7＝1－m2.答案解析12345＝tan60°＝－3a＝3，即a＝－3.4.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______.－3解析tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)12345解答5.化简：cos(α－π)sin(5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).解原式＝cos(π－α)sin(π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)＝－cosα－sinα·sinα·cosα＝cos2α.规律与方法1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0～之间的角求值π22.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”.本课结束更多精彩内容请登录：