应用多元统计分析课后答案-暴强整理

第二章2.1试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。设𝐗=(X1,X2，⋯Xp)′是p维随机向量，称由它的q（p）个分量组成的子向量𝐗(i)=(Xi1,Xi2，⋯Xiq)′的分布为𝐗的边缘分布，相对地把𝐗的分布称为联合分布。当𝐗的分布函数为F(x1,x2，⋯xp)时，𝐗(1)的分布函数即边缘分布函数为F(x1,x2，⋯xp)=P(𝐗1≤x1,⋯𝐗q≤xq,𝐗q+1≤∞,⋯𝐗p≤∞)=F(x1,x2，⋯xq,∞,⋯∞)当X有分布密度f（x1,x2，⋯xp）则𝐗(1)也有分布密度，即边缘密度函数为：f（x1,x2，⋯xq）=∫⋯+∞−∞∫f（x1,x2，⋯xp）dxq+1⋯d+∞−∞xp2.2设随机向量𝐗=(X1,X2)′服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X1,X2各自的边缘密度函数。联合分布密度函数12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−12(1−ρ2)[(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+f(x1,x2)=(x2−μ2)2σ22]}，x10,x200,其他(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22=(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22+ρ2(x1−μ1)2σ12−ρ2(x1−μ1)2σ12=[ρ(x1−μ1)σ1−(x2−μ2)σ2]2+（1−ρ2）(x1−μ1)2σ12所以指数部分变为−12{[ρ(x1−μ1)√1−ρ2σ1−(x2−μ2)√1−ρ2σ2]2+(x1−μ1)2σ12}令t=(x2−μ2)√1−ρ2σ2−ρ(x1−μ1)√1−ρ2σ1∴dt=1√1−ρ2σ2dx2∴f(x1)=∫f(x1,x2)+∞−∞dx2=12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−(x1−μ1)22σ12∫exp(+∞−∞−12t2)1√1−ρ2σ2dt=1√2πσ1exp[−(x1−μ1)22σ12]1√2πσ1exp[−(x1−μ1)22σ12]，x10f(x1)=0，其他同理，1√2πσ2exp[−(x2−μ2)22σ22]，x20f(x2)=0，其他2.3已知随机向量𝐗=(X1,X2)′的联合分布密度函数为f(x1,x2)=2[(d−c)(x1−a)+(b−a)(x2−c)−2(x1−a)(x2−c)(b−a)2(d−c)2,其中,a≤x1≤b,c≤x2≤d。求：（1）随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。解：f(x1)=∫f(x1,x2)dx2dc=∫2[(d−c)(x1−a)+(b−a)(x2−c)−2(x1−a)(x2−c)(b−a)2(d−c)2dx2dc=2[(d−c)(x1−a)(b−a)2(d−c)2+(b−a)(b−a)2(d−c)2∫2(x2−c)dcdx2−2(x1−a)(b−a)2(d−c)2∫2(x2−dcc)dx2=1b−a同理，f(x2)=∫f(x1,x2)dx1ba=∫2[(d−c)(x1−a)+(b−a)(x2−c)−2(x1−a)(x2−c)(b−a)2(d−c)2dx1ba=1d−cbabadxabxxfxxE21111111同理可得22dcxEbabadxabbaxxdxfxExxD121221211112111同理可得1222dcxD（2）随机变量的协方差和相关系数。E(x1)=∫x1f(x1)dx1ba=∫x11b−adx1ba=b+a2E(x2)=∫x2f(x2)dx2dc=∫x21d−cdx2dc=d+c2E(x12)=∫x12f(x1)dx1ba=∫x121b−adx1ba=13(b2+ab+a2)E(x22)=∫x22f(x2)dx2dc=∫x221d−cdx2=dc13(d2+dc+c2)D(x1)=E(x12)−E(x1)2=112(b−a)2D(x2)=E(x22)−E(x2)2=112(d−c)2Cov(x1,x2)=E(x1x2)−E(x1)E(x2)E(x1x2)=∫dx1ba∫x1x2dcf(x1,x2)dx2=16(2b+a)(d+c)+16(2d+c)(b+a)−19(2b+a)(2d+c)∴Cov(x1,x2).=136(a−b)(d−c)∴ρ=Cov(x1,x2)√D(x1)D(x2)=136(a−b)(d−c)112(b−a)(d−c)=−13（3）判断是否独立。∵f(x1)f(x2)=1(b−a)1(d−c)≠f(x1,x2)∴x1,x2不相互独立。2.4设随机向量𝐗=(X1,X2，⋯Xp)′服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。∵Σ=Σ𝟏𝟏Σ𝟐𝟐⋱ΣppΣij=0,i≠j∴xi与xj不相关又∵𝐗=(X1,X2，⋯Xp)′服从正态分布∴xi与xj相互独立。（i≠j，i，j=1，2，⋯，p）2.5解：依据题意，X=57000154020016214501227000144187503612000381219008450001528350813200190210001381200026E(X)=1n∑x(α)6α=1=(35650,12.33,17325,152.5)′D(X)=1n∑(x(α)6α=1−x̅)(x(α)−x̅)′=16799000032416.6732415.66710.888969768750−6140013925−29.8336976875013925−614000−29.83330478125−166562.5−166562.513912.583注：利用11pnn1XX,S1()nnnn11XIX其中1001nI在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：1.选择菜单项Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。图2.1Descriptives对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。图2.2Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。表2.1样本均值向量在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：1.选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开BivariateCorrelations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。图2.3BivariateCorrelations对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-productdeviationsandcovariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。图2.4Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵，SumofSquaresandCross-products为样本离差阵。）2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？1．()EXμ，即X是μ的无偏估计；11()nEnnSΣ，即1nS不是Σ的无偏估计，而1()1EnSΣ，即11nS是Σ的无偏估计；2．X，11nS分别是μ，Σ的有效估计；3．X，1nS（或11nS）分别是μ，Σ的一致估计（相合估计）。()EXμlimn→∞E(1𝐧𝐒）=limn→∞E(1n−1𝐒）=Σ2.7试证多元正态总体的样本均值向量证明：E(𝐗̅)=E(1nΣX（α）)=1nE(ΣX（α）)=nμn=μD(𝐗̅)=D(1nΣX（α）)=1n2ΣD(X（α）)=1n2nΣ=Σn∴X̅~NP(𝛍,𝚺n)2.8试证多元正态总体NP(𝛍,𝚺)的样本协差阵1n−1𝐒为𝚺的无偏估计。证明：E(𝚺̂)=1nE[∑(𝐱𝐢ni=1−𝐱̅)(𝐱𝐢−𝐱̅)′]=1nE{∑[(𝐱𝐢ni=1−𝛍)−(𝐱̅−𝛍)][(𝐱𝐢−𝛍)−(𝐱̅−𝛍)]′}=1nE[∑(𝐱𝐢−𝛍)(𝐱𝐢−𝛍)′−𝐧(𝐱̅−𝛍)(𝐱̅−𝛍)′ni=1]=E[∑(𝐕(𝐱𝐢ni=1))−n𝐕(𝐱̅)]=1n(n𝚺−n×1n𝚺)=n−1n𝚺∵nn−1𝚺̂是𝚺的无偏估计，S=n𝚺̂∴1n−1𝐒为𝚺的无偏估计2.9设𝐗(𝟏),𝐗(𝟐),⋯𝐗(𝐧)是从多元正态总体NP(𝛍,𝚺)中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵1n−1𝐒的分布。解：∵()~(,)apNXμΣ，na,,2,1且相互独立，则样本离差阵()()1()()~(1,)naapaWnSXXXXΣ，其中()11naanXX∴样本协差阵1n−1𝐒的分布为𝑊𝑝(1,𝚺)2.10设𝐗i(ni×p)是来自NP(𝛍,𝚺)的数据阵，i=1,2,⋯,k（1）已知𝛍𝟏=⋯=𝛍k=𝛍且𝚺1=⋯=𝚺k=𝚺，求𝛍和𝚺的估计。（2）已知𝚺1=⋯=𝚺k=𝚺，求𝛍𝟏，⋯，𝛍k和𝚺的估计。这道题我对自己的答案不是很确定。第三章3.1试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：答：第一，提出待检验的假设H0和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。均值向量的检验：统计量拒绝域均值向量的检验：在单一变量中当2已知0()Xzn/2||zz当2未知0()XtnS/2||(1)ttn（2211()1niiSXXn作为2的估计量）一个正态总体00Hμμ：协差阵Σ已知212000()()~()TnpXμΣXμ220T协差阵Σ未知2(1)1~(,)(1)npTFpnpnp2(1)npTFnp（2100(1)[()()]TnnnXμSXμ）两个正态总体012Hμμ：有共同已知协差阵2120()()~()nmTpnmXYΣXY220T有共同未知协差阵2(2)1~(,1)(2)nmpFTFpnmpnmpFF（其中21(2)()()nmnmTnmnmnmXYSXY）协差阵不等mn-1()~(,)npnFFpnppZSZFF协差阵不等mn1()~(,)npnFFpnpp-ZSZFF多个正态总体kH210：单因素方差(1)~(1,)()SSAkFFknkSSEnkFF多因素方差~(,,1)pnkkEETAE协差阵的检验检验0ΣΣ0pHΣI：/2/21exp2npnetrnSS00pHΣΣI：/2/2**1exp2npnetrnSS检验12kΣΣΣ012kHΣΣΣ：统计量/2/2/2/211iikknnpnnpkiiiinnSS3.2试述多元统计中霍特林T2分布和威尔克斯⋀分布分别与一元统计中t分布和F分布的关系。答：（！）霍特林T2分布是t分布对于多元变量的推广。22212()()