华北电力大学-核反应堆物理分析-第3章-中子扩散理论

1中子扩散理论主讲：马续波2堆内链式裂变反应过程实质：中子在介质内不断的产生、运动和消亡的过程反应堆物理的核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空间和能量的分布第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能量的分布，φ(E)～E，即中子能谱本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即φ(r)～r3Contents引言（输运过程、输运理论及扩散现象）单能中子扩散方程非增殖介质内中子扩散方程的解扩散长度、慢化长度和徙动长度4输运过程及输运理论中子状态的描述反应堆物理与屏蔽计算的基本方法一、引言51、输运过程（Transport）以及输运理论由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种杂乱无章的具有统计性质的运动，即初始在堆内某一位置具有某种能量及某一运动方向的中子，在稍晚些时候，将运动到堆内另一位置以另一能量和另一运动方向出现。这一现象称为中子在介质内的输运过程（Transport）。描述这一过程的精确方程为玻尔兹曼输运方程（Boltzmannequation）。输运理论：微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)在介质中的迁移统计规律的数学理论；不是研究个别粒子的运动，而是研究大量粒子运动所表现的非平衡统计运动规律。6发展简史：–Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)的工作奠定了最早的粒子输运理论—分子运动论的基础；–1910年Hilber论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定了输运理论的数学基础；–天体物理、等离子物理、激光物理和固体物理等的发展提出并进一步推动了辐射输运理论的研究；–1939年发现中子后，随着核反应堆和核武的出现，中子输运理论得到极快发展；–1943年Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数法；–1946年VonNeumann和Ulam等开发了第一个用概率论方法（MonteCarlo方法）计算中子链式反应的程序；–1955年Carlson等人提出了离散纵标法(即早期SN方法)–在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件7中子状态:位置矢量r(x,y,z)、能量E(或运动速度v)、运动方向、时间（7个）：单位矢量，模等于1，方向表示中子的运动方向，通过极角和方位角来表示2、中子状态的描述844),,(),(),,(),(dErErdErnErn)(),,(),,(EvErnEr中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间隔内，运动方向为的单位立体角内的中子数目。中子角通量密度：沿方向在单位时间内穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子数目。对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前面所定义的中子密度和中子通量密度9中子扩散理论求出介质内中子角通量密度的分布,才算对介质内中子的分布有了全面了解.要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方程。这是一个非常复杂和困难的任务.在本课程中，我们研究输运理论的简化形式－中子扩散理论。其第一步是研究中子通量的空间分布：φ(r)～r10–确定性方法(Deterministicmethod)•数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解•优点：计算快速，相对精确等•缺点：模型简化，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等•典型方法：离散纵标法（SN）–非确定性方法(蒙特卡罗方法，MonteCarlomethod)：•基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动•优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型•缺点：对于深穿透问题（Deep-penetration），计算非常耗时–混合方法•研究热点玻尔兹曼输运方程中子扩散方程单群中子扩散方程假设中子通量密度角分布各向同性假设中子具有单一能量3、反应堆物理与屏蔽计算基本方法111.菲克定律2.菲克定律的推导3.菲克定律和扩散方程的使用范围4.单能中子扩散方程的建立5.扩散方程的边界条件二、单能中子扩散方程12扩散现象•香水分子的扩散（无风状态）•墨滴在静水中的扩散•杂质原子在硅片中的扩散•血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散粒子的扩散是粒子与周围介质(或其它粒子)的碰撞、散射而造成的，结果是从密度大的地方向密度小的地方迁移。1、菲克定律(Fick’slaw)1314中子从通量高的地方流向通量低的地方，通量差别越大，中子“流量”越大中子流与中子通量密度之间的关系：称为菲克定律JD15中子流密度上式中的被称为中子流密度（简称中子流、或流。Current）.中子流密度是一个向量,其方向是通量场的负梯度方向.其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上每秒穿过的净中子数目。单位：中子/cm2.S()JrJD16中子流密度是向量，可以写成三个分量之和其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度每个分量可写成两个分量只差kJjJiJJzyxzzzyyyxxxJJJJJJJJJJZ+是沿z轴正方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数JZ-是沿z轴负方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数17如果某平面与中子流密度方向不垂直，那么每秒通过该平面上单位面积的净中子数是Jnn是该平面的法线方向（单位）向量()Jr1819中子流密度与中子通量密度的差别:•中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量•中子通量密度用于计算核反应率，是标量•两者的量纲相同•当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子流数量（大小）相等。20场论知识•数量场φ的梯度•向量场的散度算子JdivJJ2222222ijkxyzxyzgrad21考虑稳态情况，同时假设：(1)介质是无限的、均匀的；(2)在实验室坐标系中散射是各向同性的；(3)介质的吸收截面很小，即as(弱吸收介质)；(4)是随空间位置缓慢变化的函数。2、菲克定律的推导22以所研究的点作为坐标原点2324考虑上半空间发生的散射使多少中子从上到下穿过dA•首先考虑体积元dV中的散射中子有多少可以飞到dA上•由于散射中子各向同性地飞向四面八方,飞向dA的只占一部分.这一份额等于dA的面积与以r为半径的球面积之比,再乘以cos•此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的dA,沿途的碰撞会使得部分中子”偏离航向”25dA能到达上的中子数是22cos()4cos()4tsrsrsdArdVerdArdVer26把上半空间所有地方的散射中子的贡献统统考虑进来,即对上半空间积分,就得到从上而下穿过dA的总中子数目。这个数目就是沿负z方向的分中子流密度乘以dAzJ27dAz沿负方向每秒穿过的中子数是22/2000()cos4()cos4sinssrszVrsdAJdArerdvdderrdAd00)(614zJsz”表示原点下标“0同理00)(614zJsz－＋由于已经假设中子通量密度是随空间位置缓慢变化的，将(r)在原点处按泰勒级数展开，取1阶项，代入积分可得28子数为平面上单位面积的净中方向穿过单位时间沿着yxz0001()31()31()3zzzsxsysJJJzJxJy同理有33ssxyzJJiJjJkgrad29令，便完成了菲克定律之推导，得到3sDJDD称为扩散系数30介质是无限的、均匀的；有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，斐克定律是近似成立的；在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。介质的吸收截面很小，即as；中子通量密度是随空间位置缓慢变化的函数。在强吸收体附近，或者两种扩散性质显著不同的交界面附近，斐克定律不适用；在较远处，近似成立；在强中子源附近，斐克定律不适用；在较远处，近似成立3、菲克定律和扩散理论的适用范围31在实验室坐标系中散射是各向同性的；–利用输运自由程tr来对各向异性进行修正3trD32散射各向异性修正•如果令3trD01strtr称为输运平均自由程则效果更佳（考虑了实验室系中散射的各向异性）A32033原因34讨论左右两边通量分布相同,材料散射截面不同,请问:交界面上有无从左到右的净中子流?据菲克定律,没有净中子流.据碰撞扩散机理,似乎有净中子流.？孰是孰非3536)A()L()S(),(吸收率泄漏率产生率dVtrndtdV中子数守恒（中子数平衡）：在一定体积内，中子总数对时间的变化率应等于在该体积内中子的产生率减去该体积内中子的吸收率和泄漏率。(3-25)4、单能中子扩散方程的建立37中子泄漏的计算考察右图，通过平行于平面的两个表面逸出体积元的中子泄漏率为dxdydzzJdxdyJdzzJJdxdyJJzzzzzdzz)()(单位体积通过Z方向的中子消失率是zJzyx对和方向可以采用类似的表达式。xy38中子泄漏的计算结果，每单位体积内中子的泄漏率)12(JJdivzJyJxJLzyx39dV)t,r(Va吸收率VdV)t,r(S产生率产生率：吸收率：(3-28)(3-29)),(),(),(),(trdivJtrtrSttrna中子连续方程：(3-31)40zDzyDyxDxdivDgradtrdivJ),(利用斐克定律(3-32)2222222DzyxD泄漏率如果扩散系数D与空间位置无关，可得(3-33)因此，如果斐克定律成立，连续方程可写为下式，即单能中子扩散方程),(),(),(),(12trtrDtrSttrva(3-34)假设中子通量密度不随时间变化，可得稳态单能中子扩散方程0)()()(2rSrrDa(3-35)4142BABxAxBxAxJJJJBBAAdxdDdxdD常用的边界条件：(1)在扩散方程适用范围内，中子通量密度必须为正的、有限的实数。(2)在两种不同扩散性质的介质交界面上，垂直于分界面的中子流密度相等，中子通量密度相等。(3-37)(3-38)(3-39)(3-40)将xJxJ及表达式带入上两式，然后分别相减、相加可得：5、扩散方程的边界条件4300xxJ(3)介质与真空交界的外表面上，自真空返回介质的中子流为零，即(3-41)这一边界条件非常显然，严格，唯使用起来有时有些不便，因为扩散方程中的函数是通量不是中子流，更不是偏中子流2())0aDSr(r44trd32反应堆的外表面可以看作该情况。064000xtrxxdxdJtrxdxd2300(3-42)(3-43)直线外推距离dddxdx00(3-44)因扩散理论在真空边界处不适用，利用输运理论进行修正可得：d=0.7104tr。在自由表面外推距离d处，中子通量密度等于零。45外推距离处中子通量真为零吗？•Absolutelynot!•这个边界条件是说，如果按通量在真空边界上的斜率外推的话，在外推边界处通量降为零。实际上，堆外中子通量变化并不如外推线所示那样。我们用外推边界条件，是为了解出堆内的通量分布。46非增殖介质内中子扩散方程1.无限介质内点源的情况（球坐标系）2.无限平面源位于有限厚度介质内的情况3.包含两种不同介质的情况三、非增殖介质内中子扩散方程的解470)()(22rkraDkL2210)()()(2rSrrDa稳态单能扩散方程为若S(r)=0，即对于无源区域，扩散方程为（波动方程）0)()(22Lrr或其