利用Matlab优化工具linprog求解线性规划问题

111§15.利用Matlab求解线性规划问题线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：%minf'x%s.t.(约束条件)：Ax=b%(等式约束条件)：Aeqx=beq%lb=x=ublinprog函数的调用格式如下：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x,fval,exitflag]=linprog(…)[x,fval,exitflag,output]=linprog(…)[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)其中：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令112A=[]、b=[]。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)中lb,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。Options的参数描述：Display显示水平。选择’off’不显示输出；选择’Iter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’显示最终结果。MaxFunEvals函数评价的最大允许次数Maxiter最大允许迭代次数TolXx处的终止容限[x,fval]=linprog(…)左端fval返回解x处的目标函数值。[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)的输出部分：exitflag描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。output返回优化信息：output.iterations表示迭代次数；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.funcCount表示函数评价次数。lambda返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性：lambda.lower-lambda的下界；lambda.upper-lambda的上界；lambda.ineqlin-lambda的线性不等式；lambda.eqlin-lambda的线性等式。113下面通过具体的例子来说明：例如：某农场I、II、III等耕地的面积分别为100hm2、300hm2和200hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表5.1.4所示。若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（2）如何制订种植计划，才能使总产值最大？表1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/hm2)I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000首先根据题意建立线性规划模型（决策变量设置如表2所示，表中ijx表示第i种作物在第j等级的耕地上的种植面积。）：表2作物计划种植面积（单位:hm2)I等耕地II等耕地III等耕地水稻11x12x13x大豆21x22x23x玉米31x32x33x约束方程如下：耕地面积约束：200xxx300xxx100xxx332313322212312111最低收获量约束：-35000010000x12000x14000x-00003-10x0066800x8000x--1900009000x9500x11000x-333231232221131211114非负约束：1,2,3)j1,2,3;(i0xij(1)追求总产量最大，目标函数为：33323123222113121110000x12000x14000x-0x0066800x8000x-9000x9500x-11000x=minZ(2)追求总产值最大，目标函数为：3332312322211312113332312322211312110x0089600x11200x9000x10200x12000x10800x11400x13200x-)10000x12000x14000x(×0.80-)0x0066800x(8000x×1.50-)9000x9500x(11000x×-1.20=maxZ根据求解函数linprog中的参数含义，列出系数矩阵，目标函数系数矩阵，以及约束条件等。这些参数中没有的设为空。譬如，（1）当追求总产量最大时，只要将参数f=[-11000–9500–9000–8000–6800–6000–14000–12000-10000];A=[1.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.0000;0.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.0000;0.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00001.0000;-11000.00000.00000.0000-9500.00000.00000.0000-9000.00000.00000.0000;0.0000-8000.00000.00000.0000-6800.00000.00000.0000-6000.00000.0000;0.00000.0000-14000.00000.00000.0000-12000.00000.00000.0000-10000.0000];b=[100300200-190000-130000-350000];lb=[0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000];代入求解函数[]),[],[],,,,(lbbAflinprogfxoptxopt，即可求得结果。（2）当追求总产值最大时，将参数f=[-13200–11400–10800–12000–10200–9000–11200–9600-8000];115A=[1.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.0000;0.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00001.00000.0000;0.00000.00001.00000.00000.00001.00000.00000.00001.0000;-11000.00000.00000.0000-9500.00000.00000.0000-9000.00000.00000.0000;0.0000-8000.00000.00000.0000-6800.00000.00000.0000-6000.00000.0000;0.00000.0000-14000.00000.00000.0000-12000.00000.00000.0000-10000.0000];b=[100300200-190000-130000-350000];lb=[0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000];代入求解函数[]),[],[],,,,(lbbAflinprogfxoptxopt，即可得到求解结果。线性规划，还有其他的几种调用函数形式，可在Matlab帮助中查找LP或者LINPROG的帮助说明。