第三章-随机占优决策法则

第三章随机占优决策法则3.1偏序：有效集和无效集3.1.1偏序与全序□若期望效用函数已知，则对所有可行投资计划计算期望效用，选出最大的一个，并且对考虑的投资问题有完全的选择次序，即可以区分任意两个投资的优劣，称全序；□但一般而言，仅知偏好的部分信息（比如风险厌恶），因此可以对可行投资计划得到偏序——不是所有的投资机会都可以比较。□对于偏序，例如假设效用函数不减，即0U；或者说投资者总认为多好于少，这是部分信息，而不知效用函数的精确形式。可利用随机占优投资准则，它适合所有效用函数0U的投资者。下面根据决策者的信息引入一些定义及决策准则：可行集（feasibleset;FS):定义为我们考虑问题的所有可以实现的投资计划。可以把可行集FS分成两个子集：有效集（ES)和无效集(IS)两部分。两个集合互不相交。假设所有的全体为U，即U为所有非减效用函数组成的集合，说明关于这一信息集的有效集和无效集以及它们两者之间的关系。U中的占优：我们说在U中，投资计划1优于投资计划2是指：对任意的U∈U，有，并且至少有一个，上面的不等式严格成立。经济意义是指：具有效用函数为U的所有个体，一致认为投资计划1绝不比投资计划2差，且一定有某一个体认为投资计划1严格好于投资计划2。有效集：它是这样一些投资计划组成的集合，没有另外的投资机会占优于它。无效集：它由所有的无效投资机会组成，所谓无效投资计划是说可以在有效投资集中至少有一个投资机会优于它。可行集FS分化为有效集ES和无效集IS依赖于具有的信息。一般而言，对于给定的任意信息集，相对于可行集的有效集越小，投资者的投资计划越明确。本章将说明加在偏好或收益分布上的信息或假定越多，有效集越小。带有部分信息的投资选择（因而有偏序）有两个决策步骤：a)客观决策；b)主观选择。随机占优3.2一阶随机占优定义：对于具有连续的增效用函数的经济行为主体，如果他对证券A和证券B的选择是选择A而放弃B或者觉得A和B无差异，那么我们就说证券A一阶随机占优于证券B，用b表示。如果证券A一阶随机占优于证券B，那么以下三个命题是等价的：0U)()(21xUExUE0UBAFSD.0~,~)3(];,[),()()2(;)1(BdABAFSDrrbazzFzFBA3.3二阶随机占优定义：对于连续效用函数的风险厌恶的经济行为主体，如果他对证券A和证券B的选择是选择A而放弃B或者觉得A和B无差异，那么我们就说证券A二阶随机占优于证券B，用表示。如果证券A二阶随机占优于证券B，那么以下三个命题是等价的：令3.4二阶单调随机占优定义：如果所有非餍足的具有连续单调递增效用函数的风险厌恶者都选择资产A而放弃资产B，我们称风险资产A二阶单调随机占优于B，表示为AB。如果证券A二阶单调随机占优于证券B，那么以下三个命题是等价的：例1考虑两个风险资产A和B,假定这里；请比较它们的一阶随机占优关系.例2考虑分布函数的一阶随机占优情况:例3考虑两个风险资产A和B,假定，这里；请比较它们的二阶随机占优关系。例4考虑分布函数的二阶随机占优情况:BASSDdzzFzFySByaA))()(()(.0]~|~[,~~~)3(];,[,0)(],~[]~[)2(;)1(AAdBBASSDrErrbayySrErEBA其中而且MSSD0]~|~[,~~~)3(];,[,0)(],~[]~[)2(;)1(AAdBBAMSSDrErrbayySrErEBA其中而且),(~~),,(~~22BBBAAANrNr22;BABA.3,132,5.02,0)(xxxxG若若若xxxxF5.3,15.35.2,4.05.2,0)(若若若),(~~),,(~~22BBBAAANrNrBABA;xxxxxF2,121,11,0)(若若若.3,130,3/0,0)(xxxxxG若若若3.5三阶随机占优法则(TSD)对于三阶导数非负效用函数的风险厌恶投资者（递减绝对风险厌恶投资者）而言,可以定义三阶随机占优的概念.定义(三阶随机占优)如果所有三阶导数非负效用函数的风险厌恶投资者偏好风险资产A胜于资产B,称风险资产A三阶随机占优于资产B,简记为。定理对于定义的三阶随机占优,下列二者是等价的:i)；ii)以及这里3.6单调三阶随机占优法则(MTSD)定义:把所有具有三阶导数非负的递增效用函数的风险厌恶投资者偏好风险资产A胜于B,称为风险资产A单调三阶随机占优于资产B.简记为。下面的定理给出了单调三阶随机占优的等价定义:定理风险资产A单调三阶随机占优于风险资产B当且仅当以及这里已知的一个结论：假设一个个体的初始财富为1，可投资于收益率为的有风险资产，和收益率为的无风险资产。是最优地投资于有风险资产的财富数量，其充分必要条件是：其中是个体的效用函数。3.7强风险厌恶度量前面已经证明，当只有两项资产，既有风险资产和无风险资产时，风险厌恶程度高的个体相对于风险厌恶程度低的个体，要使他将所有财富都投资于有风险资产，需要更高的风险补偿。等价地说，一个风险厌恶程度高的个体相对于风险厌恶程度低的个体而言，不会将更多的财富投资于有风险资产。由定义，若，则称个体i比个体k具有更高的风险厌恶。但这一结论不能推广到可以交易的两项资产都是有风险资产的情形。BATSDBATSD]~[]~[BArErE],,[,0)(baxxTxadyySxT.)()(BAMTSD]~[]~[BArErE],,[,0)(baxxTxadyySxT.)()(Ar~fra0)]~))(~()1(([fAfAfrrrraruE)(ukAiARR举例（Ross,1981）考虑一个由两项资产构成的资产组合问题，和分别表示两种有风险资产的收益率。记，假设的每一个实际取值都满足。可知A比B的风险更高，并且具有更高的期望收益率。不妨假设和是相互独立的，并且：令代表个体k的递增并且凹的效用函数，并且同时令为一凹函数并且现在定义可知效用函数为的个体i比个体k具有更高的风险厌恶。不失一般性，假设两个个体的初始财富都为1。易证是下面方程的解：即，个体k将1/4的财富投资于资产A时效用最大。然而，这意味着，若个体i将大于1/4的财富投资于资产A可以获得更高的效用。尽管从Arrow-Pratt意义上讲，i比k具有更高的风险厌恶，但并不意味着个体i将持有一个风险更小的头寸。Ross（1981）提出了另一个风险厌恶的测度。称个体i比个体k具有更高的强风险厌恶，如果即对任何的Z，都有Ar~Br~BArrz~~~Br~0]~|~[BrzEz~Br~2/1,12/1,2~probprobz2/1,02/1,1~probprobrB)(ku,0)(25ku,2)(47ku,3)(23ku,4)(43ku)(G10))((43kuG10))((23kuG0))((47kuG0))((25kuG)(kiuGuiu4/1a0]~)~~1([zzaruEBk05]~)~~1()~~1(([4141zzruzruGEBkBk]~)~~1([41zzruEBi)()(sup)()(infzuzuzuzukizkiz)()()()(zuzuzuzukiki)()()()(zuzuzuzukkii可以推出，在Arrow-Pratt意义上，i同样比k具有更高的风险厌恶。举例说明强风险厌恶的条件更强。令，并且，其中。易证，在Arrow-Pratt意义上，i比k具有更高的风险厌恶。而若很大，将有因此，强风险厌恶测度严格强于Arrow-Pratt测度。命题：i比k具有更高的强风险厌恶，当且仅当存在一个递减的凹函数G和一个大于0的常数，使得：现在考虑前面提出的两个有风险资产构成的资产组合的问题。假设个体i比k具有更高的强风险厌恶。令满足则为k投资于资产A的最优数量。可得利用迭代期望法则和协方差的定义，可以把上面的关系式改写为由此可知，若i投资于A的财富数量比a少一点，可以获得更高的效用。即i会选择一个风险小的组合作为最优组合。因此，强风险厌恶测度给出了正确的比较静态分析。babzkezu)(aziezu)(1)(11)()(zbakiebazuzu2)(222)()()(zbakiebazuzu12zz)()()()(1122zuzuzuzukiki),()()(zGzuzukiza0]~)~~1([zzaruEBka]~)~~1(~)~~1([]~)~~1([zzarGzzaruEzzaruEBBkBi]~)~~1([zzarGEB]]~|~)~~1([[BBrzzarGEE]~)~~1([zzarGEB]]~|~[]~|)~~1([BBBrzErzarGE)~|~),~~1(([BBrzzarGCovE0)]~|~),~~1(([BBrzzarGCovE