线性模型引论(王桂芬著)课后习题答案

第五章5.5由模型exxy21),0(~2INen2xySSe表示模型的残差由1x和2x分别为n*(p-q)和n*q的矩阵21XXXrk(x)=p得pnPtrnPItrPIrkxXX)()()(由ˆ为yXXX的解由（5.1.7）得yxyyxxyxyyxySSeˆˆˆˆ22此时0ˆ2则原模型exxy21可简化为如下模型：exy1),0(~2INe因为rˆ为yXrXX11可知drHˆ为模型exy1的约束条件，在约束条件drHˆ下，模型exy1的残差为yxryyrXySSHe121ˆˆ)ˆ())(()ˆ(11rHXXXHrHSSSSeHe由于qHXXHrk))((1则02的似然比检验qnSSqSSSSFeeHe//)(可以写成yxyyyxryxqpnqnyxyyqyxryxFˆˆˆ/)ˆ(/)ˆˆ(115.6两个线性模型iiiiexy),0(~2INeini其中I=1,2为了导出所需要的经验统计量，将两个模型写成矩阵形式1111exy),0(~121nINe2222exy),0(~1222nINe将它们合并，得到如下模型2121212100eeXXyy21221,0~nnINee要检验的假设为0ˆˆ2121PpIIH（2）其中PpIIH若记1ˆ，2ˆ为从模型（1）得到的LS估计221221111122111221121211221121000000yXXXyXXXyXyXXXXXyyXXXXXX于是有111111ˆyXXX221222ˆyXXX（3）由于22211122112ˆˆˆyxyxyyyyxySSe为求在约束条件（2）下的残差平方和HeSS，把约束条件下融入模型，当（2）成立时21ˆˆ记它们公共值为，代入模型得约简模型212121eexxyy原模型中i在约束条件（2）下的LS估计，记为)(ˆ221112211yXyXXXXXH,故在约束条件的残差平方和)(ˆ22112211yxyxyyyySSHHe22211122112211)ˆˆ()ˆˆ()(ˆyxyxyxyxyxyxSSSSHHHeHe相应的检验统计量为21221212211221122211121222/(ˆ/)ˆˆ()ˆˆ(2//)(FFppnnpnnyxyxyyyypxyxpnnSSpSSSSFHHHeeHe其中2221111)ˆˆ()ˆˆ(yxyxFHH221112)ˆˆ()ˆˆ(xyxFHH5.7设错误!未找到引用源。i=1…..n错误!未找到引用源。且相互独立，对一切线性组合错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。做出置信系数为1-错误!未找到引用源。的同时置信区间解：因为依题意：错误!未找到引用源。,是n维向量，错误!未找到引用源。,i=1…..n,为一列独立向量，服从错误!未找到引用源。分布，对一切线性组合错误!未找到引用源。根据bonfrroni区间，P(错误!未找到引用源。F分布与t分布之间关系，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。记错误!未找到引用源。自由度为n-r的t分布上侧错误!未找到引用源。分点。上式中：var(错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。，记：错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，则区间为公式：（错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。（1）依据区间公式（1），可知，一切线性组合错误!未找到引用源。的置信系数为1-错误!未找到引用源。同时置信区间为：第六章6.2（1）因为错误!未找到引用源。所以正则方程错误!未找到引用源。X错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。由因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。其中A=错误!未找到引用源。D=错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。即证（2）又错误!未找到引用源。所以cov（错误!未找到引用源。）=cov（错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。所以cov（错误!未找到引用源。）=错误!未找到引用源。D=错误!未找到引用源。6.3、（1）111:...pHc得到的约简模型：011...iiipiycxcxe相当于约束条件为：010pIIc此时1001ˆ()HnyRSSxycycxxy0nycxy对于原模型：00011ˆˆˆ()IIIyRSSynyxyxxy所以1ˆˆ()()()HIIRSSRSSxycxycxy所以ˆ()/(1)/()IcxypFSSenp其中0ˆISSeyynyxy（2）201:...pH同理可得：20001ˆˆˆ()HIIInyRSSynyxyxxy同理：0ˆ()IRSSnyxy11p-11ˆ=IP其中此时：ˆˆ()/(1)F=/()IIxyPSSenp（3）、311:PHc0ˆ()IRSSnyxy同理：ˆˆ()/(1)F=/()IIxyPSSenpˆI11P其中11Pc第三题证明：一、错误!未找到引用源。二、错误!未找到引用源。证：一、由错误!未找到引用源。可得，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。二、由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。第四题判断：在定理6.7.1中，存在错误!未找到引用源。,使得（6.7.7）式对任给的错误!未找到引用源。向量都成立。答：错误。使得命题正确的参数错误!未找到引用源。依赖于未知参数错误!未找到引用源。，且对于相对较小的错误!未找到引用源。，才会存在错误!未找到引用源。使得命题成立。第七章7.3解：检验线性假设0H：aaccc2211等价于检验线性假设0H：aaaaaaaacccccc112211于是,1)(,000000112211aHrkccccccccccccHaaaaaaaa令*2211aaccc即有**22*11aaccc若不拒绝0H，则模型可以简化为,,2,1,,2,1,*iijiijnjaiecy其矩阵形式为,eXy其中，,,111*2121ananncccX它的正则方程yXXXTT为,1111111,1,121212121*2121ycccccccccaaanannnannTnaTnTn于是在0H下的约束LS解为,1..22.1112^*^aaaiiiHycycycnc、则.,,1)()(1212.2..22.11..22.1112^*^*aiiiaiiiaaaaaiiiTTTTHHncycycycycycycycncyXyXRSSRSS而.)(,)(211_.12.^ainjiijTeiaiiTTiyyRSSyySSnyyXRSS（书上第一节已给出）由第五章的知识知道F统计量具有以下形式,)()()(rnSSmRSSRSSFeH其中)(),(XrkrHrkm。于是这里F统计量为,1))()((*aNSSaRSSRSSFe其中eSSRSSRSS),(),(*以上已给出。习题7.5解：对于随机误差项相互独立的两向分类模型2,0~;,,1;,,1;Nebjaieyijijjiij可写为矩阵形式INeeXXyab22211,0~,1显然]',,[,]',,[,1,1121121bababaIXIX，且对于1和2的任意的可估函数1'1c和2'2c的BLU估计为aiiiycc11'1ˆ和bjjjydc12'2ˆ，可求得0ab,ab,,ˆ,ˆ2111111112'21'1aibjjijiaibjjijiaibjjiaibjjjiidcyyCovdcyyCovdcydycCovccCov故1和2正交。第七章第三题P2322,(0,),=1,,,=1,,.ijiijijijiiyeeeNiajn诸相互独立，（7.5.1）222012:===aH（7.5.2）构造模型（7.5.1）在（7.5.2）原假设下的似然比。解：由已知可得：*2(,),ijiiyN=1,,,=1,,.iiajn其中*+ii依然函数为：*2*2*211221222212(-)(-)(-)---22222212=1=1=112111(,,,)=222ajajjaayyynnnajjjaLeee*2=12=12=1=1(-)11=-ln2-ln222inaijiiaajiiiiiiynlnLn12*211=112222111*212=122222222*21=12222(-)ln11=--(-)=022()(-)ln11=--(-)=022()(-)ln11=--(-)=022()anjjnjjnjajaaaaynLynLynL可得22212,,,a的MLE为：122111.=111=(-)njjyyn，222212.=121=(-)njjyyn，，221a.=11=(-)anajjayyn其中*11.=y，*22.=y，，*a.=ay假设在22220120:====aH222112:,,,aH不全相等下则检验问题的似然比统计量为=12.=1=1=120--222.222=1=112222(-)000--2201((-))(,,,))==(,,,)aiiiinaiaijiiijinnnaijiijiayynyyenLyLe（220..2=1=1=1=1=1=1002=1=1=1=1012ln()=ln+(ln-1)+(-)-((-))1=(-1)-ln(