最新人教版九年级上册数学专训2-根与系数的关系的四种应用类型

最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计1专训2根与系数的关系的四种应用类型名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)x2x1＋1＋x1x2＋1；(3)x1－x2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．【2015·潜江】已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计2巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．答案最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计31．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x1＋x2＝74，x1x2＝－34.(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x2x1＋1＋x1x2＋1＝x2（x2＋1）＋x1（x1＋1）（x2＋1）（x1＋1）＝x12＋x22＋x1＋x2x1x2＋x1＋x2＋1＝（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）x1x2＋（x1＋x2）＋1＝742－2×－34＋74－34＋74＋1＝10132.(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝742－4×－34＝9716，∴x1－x2＝±9716＝±1497.2．解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－25，x1x2＝－35.设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，令y1＝－1x1，y2＝－1x2.∴p＝－(y1＋y2)＝－－1x1－1x2＝1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝23，q＝y1y2＝－1x1－1x2＝1x1x2＝－53.∴所求的方程为y2＋23y－53＝0，即3y2＋2y－5＝0.3．解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，∴m≤4.(2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝4，①又∵5x1＋2x2＝2，②联立①②解方程组得x1＝－2，x2＝6.∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12.4．解：不存在．理由如下：最新人教版九年级数学精品资料设计最新人教版九年级数学精品资料设计4∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，∴k＜0.∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝k＋14k.∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－k＋94k.又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32，∴－k＋94k＝－32，∴k＝95.经检验，k＝95是方程－k＋94k＝－32的解．又∵k0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立．