第十九届华杯赛决赛解答-初一

第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）（时间:2014年4月12日）一、填空（每题10分,共80分）1.计算:]6)8()3[(12)3()]27(0[625.385|54|)2(16)5(3233.【答案】2【解答】原式=31312)3(27920)8(16)5(27=2611225299202135.2.如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点做了一个三角形,记L为三角形边上的格点数目,N为三角形内部的格点数目,三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=121NL如果三角形的边上与内部共有20个格点,则这个三角形的面积最大等于,最小等于.【答案】17.5,9【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子,只用到顶点数目,其说明也易于理解.下面的说明也是取自该书）,根据顶点在格点图形的面积=121NL,因为L为三角形边上的格点数目,N为图形内部的格点数目,要使三角形面积最大,则要求L最小.当L最小的时候,三角形只有三个顶点在格点上,其它第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）的点在三角形的内部.此时面积为17.5.这种图形是存在的,在相邻的3列格点中,三角形的三个顶点分别在其中一列上,使得只有3个顶点在三角形的边上,见下图.考虑面积最小的情况,当所有的格点都在三角形的边上时,面积最小.取相邻两行格点,三角形的一个顶点在其中一行,底边包含19个格点在另一行,此时面积为9,见下图.下面叙述这个公式的一步步的说明过程.（1）考虑1m行,1n列的矩形,则图形内的点数为))((11nm,边上的点数为)(2nm,图形的面积为mn.而1))(2(21)1)(1(nmnmmn.因此公式成立.（2）对于直角三角形,设直角边的长度分别为m,n.设斜边上的点数为K,则三角形内部的格点数为2211Knm))((,三条边上的格点数为1Knm.因此,第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）1211212211mnKnmKnm)())((.而三角形的面积为mn21,故公式成立.（3）对于一般的三角形,有下面的三种方式：对于每个上述情况,可以把这个三角形记为T,放入一个矩形中.这样把矩形分割成一些直角三角形,矩形与T.对这些直角三角形与矩形进行编号,3,2,1.记i个图形的内部格点数目为iN,边上的格点数目为iL,每个图形面积满足121iiLN.注意到：a)每个图形的内部格点一定是外部矩形的内部格点.b)每个公共边上内部的格点属于两个图形.c)公共边的端点可能为多个图形的顶点.如上左图中A,B属于两个图形边的顶点,C为3个图形顶点.把每个点对应一个数,图形内部的格点对应1,图形边上的格点对应21.这样用外部矩形面积公式减去T之外的其他直角三角形与矩形面积公式.T之内的格点为对应的数1,T边上内部的格点对应的数为21211,T的三个顶点对应数的和是21212212123,公式中常数1对应的值为1121)(,其他格点对应的数为0.这样外部矩形面积公式减去T之外的其他直角三角形与矩形面积公式第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）=T的内部格点数+21(边的内部格点数3)+(121)=T的内部格点数+21(边的内部格点数)1,因此公式对T成立.对其他两个图形也进行类似的讨论.3.长为4的线段AB上有一动点C,等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过AB的直线同侧,DCAD,EBCE,则线段DE的长度最小为.【答案】2.【解答】分别从D,E向AB作垂线,过D或E做与AB的平行线,可以得到一个矩形,参见右图.线段DE最短等于该矩形平行于AB的边的长度（由过一点D或E到另一直线的距离,垂线最短的结论）.三角形ACD和三角形BCD是等腰三角形,DE最短等于AB的一半,即为2.4.正整数cba,,满足等式,cba3,且9432cba,又6822ba,则c.【答案】12.【解答】由cbacba33,知9439322222222cbacbacba,所以,153499222)(bac.得1442c,12c.第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）5.如图,直角三角形ABC中,F为AB上的点,且FBAF2,四边形EBCD为平行四边形,那么EFFD.【答案】2【解答】连接FC,BD,设kEFFD,SSBFE,那么kSSBDF,SkSSFBCBCD)1(.由FBAF2可知kSSAFD2,进而SkSABC)41(,得kkSSAFDABC2)41(.又kkSSSBCFBSBCABSSAFDFBCAFDAFDAFDABC2)1(33232,所以)1(341kk.解得,2k.因此,EFFD2.6.方程023CBxAxx的系数CBA,,为整数,5||,5||,5||CBA,且1是方程的一个根,那么这种方程总共有个.【答案】60【解答】由已知,bxabxaxbaxxxCBxAxx)()1())(1(23223,其中,a,b为实数,于是有bCabBaA,,1,FABCED第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）并且得到a,b为整数.由题目条件得5||,5||,5|1|baba.因此555564bbaba,,.当0b时,由55,64aa,得54a,即a能够取8个整数值.类似地,当b为1,2,3,4时,a分别可以取9,8,7,6个整数值.同样地,当1b时,由46,64aa,得44a,即a能能够取7个整数值.类似地,当b为4,3,2时,a分别可以取6,5,4个整数值.这样,),(ba的取法,亦即),,(CBA的取法有60)4567()67898(（种）所以,这种方程共有60个.7.一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行,它们的起点分别在A站和B站,快车每次回到A站休息4分钟,慢车每次回到B站休息5分钟,两车在其他车站停留的时间不计.已知沿顺时针方向A站到B站的路程是环路全程的52,两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）,那么它们从早上6时同时出发,连续运行到晚上10时,两车同在B站共次.【答案】3【解答】记早上6时为第0分钟,从6时到22时是9606016分钟,快车环行一周连同休息时间需49445分钟,294919960,慢车环行一周连同休息时间需56551分钟,85617960.即第960分钟时,快车共环行了19次,慢车环行了17次.第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）设慢车第m次（171m,6点出发为第0次）到达B站的时间为第mT分钟,则有:556mTm.快车第1次到达B站是在第185245分钟,11491918960,快车经过B站共20次.记第n次（201n）经过B站的时间为nt分钟,则3149)1(4918nntn.两车同在B站时,m,n必须满足:mnm563149556.26495631nm推出31564926mn,73187726mn.既然mn87是整数,故有4874mn,即得到二元整数方程:487mn.由上面的方程得,51,4kkn,得到:,4847mk127mk.所以,k为奇数.当k为1,3,5时,m分别为3,10,17,n分别为4,12,20.所以,快车和慢车同在B站3次.8.如果a,b,c为不同的正整数,且222cba¸那么乘积abc最接近2014的值是.第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）【答案】2040【解答】解答1.设如若平方数c²取3m或13m的形式,那么a,b中必有3的倍数,不然c²为23m,而与原设矛盾.如若设平方数c²取5m或5m±1的形式,那么,要是a,b都不是5的倍数,则c²必为5m或5m±2,而与原设矛盾;要是a,b都是5m,则c为5的倍数,要是a,b是5m±2,则c不是5的倍数,而与题设矛盾,则a,b中必有5的倍数.若设平方数c²取4m或14m的形式,要是a,b都不是4的倍数,则c²必为24m的形式,与题设矛盾.故,a,b中必有4的倍数.因而可知abc必为3,4,5的公倍数,且4,5,6的最小公倍数为60.又19803360,3419802014,20403460,2620142040,并且当17,8,15cba时,22217815,204017815.所以abc中最接近2014的值是2040.解答2.根据a,b,c为不同的正整数,满足222cba,则存在正整数)(,nmnm,使得22nma,mnb2,22nmc.所以)()(22222nmmnnmabc.根据2)(2)2()()2()(222222222nmmnnmmnnm,知道第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）2)()(2)(3222222nmnmmnnmabc.（*）当3m时,根据nm,n最大为2,221972492233222222)()()()(nmnmmnnmabc.另外4222222222mnmmnnmnmnmmnnmabc)())(()()(.（**）所以当7m时,48042224222222mnmmnnmnmnmmnnmabc)())(()()(.考察6,5,4mmm,把n的所有情况代人公式)(2)(2222nmmnnmabc有下表:4m5m6m1n20406240155402n384012460307203n420018600437404n24840499205n40260所以abc中最接近2014的值是2040.二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）9.有三个农场在一条公路边,如图A、B和C处.A处农场年产小麦50吨,B处农场年产小麦10吨,C处农场年产小麦60吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A到C方向是1.5元/吨千米,从C到A方向是1元/吨千米.问仓库应该建在何处才能使运费最低？120公里50公里ACB第十九届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）【答案】A处【解答】设仓库离B处x公里(靠C处),则运费为：109503010950)120(6015)50(505.1xxxx元.设仓库离B处x公里(靠A处),则运费为：10700510950)120(601050505.1xxxx）（元.因此,应该将仓库建在A处.10.如图,在ABCΔ中,D为BC中点,FBAF2,AECE3.连接CF交DE于P点,求DPEP的值.【答案】3.【解答】如图所示,连接EF,DF.设xSBDFΔ.因为D为BC的中点,所以xSFDC,xSCFB2.因为BFAF2,所以2BFAFSSCFBCAF,得xSCAF4.因为31CEAESSEFCAFE,所以xSEFC3.因为DPPESSSSCPDCEPDPFEFP,所以3FDCEFCSSDPPE.11.某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自当地14所学校.请你证明：其中一定存在两所学校选手的人数是