一阶电路习题及其总结

1方法一阶电路的三要素法一阶电路是指含有一个储能元件的电路。一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按指数规律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时间常数有关。其瞬态过程的通式为f(t)=f(∞)+[f(0+)–f(∞)]te式中：f(0+)——瞬态变量的初始值；f(∞)——瞬态变量的稳态值；——电路的时间常数。可见，只要求出f(0+)、f(∞)和就可写出瞬态过程的表达式。把f(0+)、f(∞)和称为三要素，这种方法称三要素法。如RC串联电路的电容充电过程，uC(0+)=0，uC(∞)=E，=RC，则uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)−uC(∞)]te结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。f(0+)由换路定律求得，f(∞)是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。=RC或RL，R为换路后从储能元件两端看进去的电阻。三个要素的意义：(1)稳态值f(∞)：换路后，电路达到新稳态时的电压或电流值。当直流电路处于稳态时,电路的处理方法是：电容开路，电感短路，用求稳态电路的方法求出所求量的新稳态值。(2)初始值f(0+)：f(0+)是指任意元件上的电压或电流的初始值。(3)时间常数τ：用来表征暂态过程进行快慢的参数，单位为秒。它的意义在于，a.τ越大，暂态过程的速度越慢，τ越小，暂态过程的速度则越快，b.理论上，当t为无穷大时，暂态过程结束；实际中，当t=(3～5)τ时，即可认为暂态过程结束。时间常数的求法是：对于RC电路τ=RC，对于RL电路τ=L/R。这里R、L、C都是等效值，其中R是把换路后的电路变成无源电路，从电容（或电感）两端看进去的等效电阻（同戴维宁定理求R0的方法）。c.同一电路中，各个电压、电流量的τ相同，充、放电的速度是相同的。电路分析中，外部输入电源通常称为激励；在激励下，各支路中产生的电压和电流称为响应。不同的电路换路后，电路的响应是不同的时间函数。（1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始储能引起的响应，其实质是电容元件放电的过程。即：teftf)0()(（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给电容元件充电的过程。即：teftf1)()(（3）全响应是指电源激励和初始储能共同作用的结果，其实质是零输入响应和零状态响应的叠加。2)1)(()0()(ttefeftf零输入响应零状态响应应用三要素法求出的暂态方程可满足在阶跃激励下所有一阶线性电路的响应情况，如从RC电路的暂态分析所得出的电压和电流的充、放电曲线如图2-1，这四种情况都可以用三要素法直接求出和描述，因此三要素法是即简单又准确的方法。图2-1(a),(b),(c),(d)RL电路完全可以在理解RC电路以后，对照RC电路来学习，不同的是时间常数RL，另外还应该注意教材【例8-3】如图13-14所示的电路中，已知E=6V，R1=10k，R2=20k，C=30F，开关S闭合前，电容两端电压为零。求：S闭合后电容元件上的电压比?解：uC(0+)=uC(0)=0uC(∞)=V22010610)(211RRERuC等效电阻k320201020102121RRRRRs2.010301032063RC则通解为Ve22]e)20(2[52.0ttCu【例8-4】图13-15所示电路中，已知E=20V，R1=2k，R2=3k，L=4mH。S闭合前，电路处于稳态，求开关闭合后，电路中的电流。图8-4例8-3图3解：(1)确定初始值：mA43220)0(21RREiLiC(0+)=iL(0–)=4mA(2)确定稳态值mA10A10220)(31REiL(3)确定时间常数R=R1=2ks2s102102104633RL则通解为mA)610(])104(10[66105102ttLeei典例题分析1、如图7.1所示电路中，已知VuC6)0(，0t将开关S闭0t时的)(ti。合，求知识点：零输入响应解：已知VuC6)0(，则VuC6)0(，换路后电路的响应为零输入响应。从电容两端看进去的等效电阻用外施电源法求解，如图7.1.1所示。图8-5例8-4图4iuReq其中31102ui)102()(312uiiiiiuiiiu2000)102(10620001063323得1000iu所以1000iuReqsCReq361025.01025.01000所以VeeuttC310466mAeedtddtduCittC3310410466)6(1025.02、如图7.2所示电路中，0)0(Li，0t时开关S闭合，求0t时的)(tiL。知识点：零状态响应解：已知0)0(Li，则开关S闭合后电路的响应为零状态响应。首先求电感元件以外部分的戴维南等效电路。端口开路时电路如图7.2.1所示。111201010iiiuOC5而Ai11015251所以ViuOC20201端口短路时电路如图7.2.2所示。1111010iii01i所以AiSC351525故123520SCOCeqiuRsRLeq33105.012106由图7.2.3可求得AiL351220)(所以AeeittL)1(35)1(3520003、电路如图7.3所示，已知u(0)=10V，求u(t)，t≥0。知识点：一阶电路全响应解：u(0+)=u(0)=10V求电容两端左侧含源单口网络的戴维南等效电路，如图7.3.1。求开路电压uoc：i1=2Auoc=4i1+2i1=6×2=12V外施激励电压源u求等效电阻Ro，如图7.3.2。6u=(4+4)i1+2i1=10i1Ro=u/i1=10原电路等效为图7.3.3所示。=RoC=10×0.01=0.1su()=12V0,212)1)(()0()(10tVeeueututtt4、电路如图7.4所示，电压源于t=0时开始作用于电路，试用“三要素法”求i1(t)，t≥0。知识点：“三要素法”求一阶电路全响应解：（1）求初始值i1(0+)。uc(0+)=0V画出0+等效电路图，如图7.4.1所示。作电源等效变换，如图7.4.2所示。i1(0+)+0.5[i1(0+)+2i1(0+)]=2解得：i1(0+)=4/5A（2）求时间常数。求电容两端左侧含源单口网络的戴维南等效电路之等效电阻。如图7.4.3所示。外施激励电压源u，如图7.4.3。7(KVL)m1：i1+(i1+i)+2i1=0(KVL)m2：u=i+(i1+i)+2i1=2i+3i1解得Ro=u/i=5/4=RoC=1s(3)求稳态值i1(∞)。画出∞等效电路图，如图7.4.4所示。2i1(∞)+2i1(∞)=2i1(∞)=1/2A依据“三要素法”公式得：0,10321)2154(21)]()0([)()(1111tAeeeiiitittt5、电路如图7.5所示，求iL(t)（t≥0）,假定开关闭合前电路已处于稳定状态。知识点：“三要素法”求一阶电路全响应解：（1）求初始值iL(0+)。iL(0+)=iL(0-)=10/2=5mA（2）求时间常数。Req=(0.5+0.5)//1=0.5k=L/Req=2ms(3)求稳态值iL(∞)。iL(∞)=10/2+10/1=15mA依据“三要素法”公式得：0,1015)155(15)]()0([)()(500500tmAeeeiiititttLLLL图7.5k110V-+k5.0k5.010mAt=01HiL(t)86、当0tS50时，通过3mH电感的电流为)(50sin0.10Ati，求电感的电压、功率和能量。(u与i为关联参考方向)知识点：电感元件伏安关系及贮能公式。解：)(50cos0.15VtdtdiLu)(100sin0.75WtuiptLJtpdtW0))(100cos1(75.07、当0t5mS时，1个20F的电容两端的电压为)(200sin0.50Vtu，计算电荷量、功率和能量。(u与i为关联参考方向)知识点：电容元件伏安关系及贮能公式。解：)(200sin1000CtCuq)(200cos20.0AtdtduCi)(400sin0.5Wtuip21))(400cos1(5.12ttCmJtpdtW8，图3-2所示电路，t0时电路已达稳态，t=0时开关由1扳向2,求iL(0+)，uL(0+)，uR(0+)。解：t0时电路处于稳态（S在1处）iL(0—)=3/(3+6)*3=1AiL(0+)=iL(0—)=1At=0+时刻（S在2处）的等效电路为uR(0+)=-iL(0+)R=(-1)x6=-6V由KVL:6iL(0+)+uL(0+)-uR(0+)=0得:uL(0+)=uR(0+)-6iL(0+)=-12V9.图3-3所示电路，t=0时开关闭合，已知uc(0—)=4V，求ic(0+)，uR(0+)。Ril(0+)Ul(0+)UR(0+)R+-UC(0+)iC(0+)UR(0+)29解：uc(0+)=uc(0—)=4Vt=0+时刻（S闭合）的等效电路：对节点1由KCL:I1=I2+ic(0+)(1)对回路1由KVL:2I1+4I2-8=0(2)对回路2由KVL:4ic(0+)+uc(0+)-4I2=0(3)将三式联立代入数据得ic(0+)=0.25A,I2=1.25A,uR(0+)=4I2=5V10.图3-5所示电路t=0时开关S由1扳向2，在t0时电路已达稳态。求初始值i(0+)、ic(0+)和uL(0+)。解：t=0-(S在1)L视为短路，C视为开路il(0+)=iL(0-)=Us/(2+4)=24/6=4AUc(0+)=Uc(0-)=4il(0-)=16VT=0+时刻等效电路对接点①由kcl:iL(0+)=i(0+)+ic(0+)(1)对回路1由kvl:UL(0+)+4i(0+)+2iL(0+)=0(2)对回路2由kvl:Uc(0+)-4i(0+)=0(3)由（3）得i(0+)=Uc(0+)/4=16/4=4A代入（2）ic(0+)=4-4=0A由（2）式UL(0+)=-4×4-2×4=-24V11.图3-7所示电路，开关动作前电路已达稳态，t=0时开关S由1扳向2，求t=0+时的iL(t)和uL(t)。解：t=0-时电路处于稳态，电感视为短路iL(0-)=（8/(8+4)）×6=4Ail(0+)=iL(0-)=4A换路后从电感两端看进去等效电阻：R=4+8=12Ωτ=L/R=0.2/12=1/60siL(∞)=0电路响应为iL(t)=4e-60tAUl(t)=L=0.2×(-60)×4e-60t=-48e-60tV12UC(0+)iC(0+)dtiL(t)d1012.图示电路，t=0-时电路已达稳态，t=0时开关S打开，求t=0时的电压uc和电流i。解：t=0-电路处于稳态电容视为开路I1=(3/(3+4+2))×6=2AUc(0-)=2I1=2×2=4VUc(0+)=Uc(0-)4V换路后从电容两端看进去等效电阻R=R3+R4=2+1=3Ωτ=RC=3×(1/3)=1s零输入响应Uc（t）=4e-ti=ic=C=(1/3)×(-1)×4e-t=-(4/3)4e-t13如图所示电路，t=0时开关闭和，求t=0时的iL(t)和uL(t)。解：iL(0+)=iL(0-)=0换路并稳定后，电感视为短路iL(∞)=3从电感两端看进去等效电阻R=6/5Ωτ=L/R=0.3×5/6=0.25s零状态响应为：