数字信号处理实验三--用FFT作谱分析

XXXX大学实验报告XXXX年XX月XX日课程名称：数字信号处理实验名称：用FFT作谱分析班级：XXXXXXXX班学号：XXXXXXXX姓名：XXXX实验三用FFT作谱分析一、实验目的（1）进一步加深DFT算法原理和基本性质的理解（因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的运算结果必然满足DFT的基本性质）；（2）熟悉FFT算法的原理；（3）学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。二、实验内容（1）x(n)={10≤𝑛≤50其他构造DFT函数计算x(n)的10点DFT，20点DFT并画出图形；（2）利用FFT对下列信号逐个进行谱分析并画出图形a、x1(n)=R4(n)；b、x2(n)=cos𝜋4𝑛；c、x3(n)=sin𝜋8𝑛以上3个序列的FFT变换区间N=8，16（2）设一序列中含有两种频率成份，f1=2HZ,f2=2.05HZ,采样频率取为fs＝10HZ，即)/2sin()/2sin()(21ssfnffnfnx要区分出这两种频率成份，必须满足N400,为什么？a.取x(n)(0≤n128)时，计算x(n)的DFTX(k)b.将a中的x（n）以补零方式使其加长到0≤n512，计算X(k)c.取x(n)(0≤n512)，计算X(k)（3）令)()()(32nxnxnx用FFT计算16点离散傅立叶变换并画出图形，分析DFT的对称性（4）)()()(32njxnxnx用FFT计算16点离散傅立叶变换并画出图形，分析DFT的对称性三、实验代码（1）1、代码function[Xk]=dft(xn,N)n=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;%离散傅立叶变换方法定义N=10;%10点DFTn1=[0:N-1];x1=[ones(1,6),zeros(1,N-6)];%生成1行6列的单位矩阵和1行N-6列的0矩阵Xk1=dft(x1,N);%10点DFTfigure(1);subplot(2,1,1);stem(n1,x1);%画火柴图xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);subplot(2,1,2);stem(n1,abs(Xk1));xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);N=20;n2=[0:N-1];x2=[ones(1,6),zeros(1,14)];Xk2=dft(x2,N);figure(2);subplot(2,1,1);stem(n2,x2);xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);subplot(2,1,2);stem(n2,abs(Xk2));xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’);2、运行结果图110点DFT图220点DFT3、结果分析定义x(n)的N点DFT为由定义知：DFT具有隐含周期性，周期与DFT的变换长度N一致，这说明，变换长度不一样，DFT的结果也不一样（2）1、代码N=64;n=[0:N-1];x1=[ones(1,4),zeros(1,N-4)];%定义x1(n)=R4(n)x2=cos((pi/4)*n);%定义x2(n)=cos𝜋4𝑛x3=sin((pi/8)*n);%定义x3(n)=sin𝜋8𝑛y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);%分别进行DFTfigure(1);m1=abs(y1);subplot(2,1,1);%绘制x1(n)的图形stem(n,x1);subplot(2,1,2);%绘制x1(n)的DFT图形stem(n,m1)figure(2);m2=abs(y2);subplot(2,1,1);stem(n,x2);%绘制x2(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m2);%绘制x1(n)的DFT图形figure(3);m3=abs(y3);subplot(2,1,1);stem(n,x3);%绘制x3(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m3);%绘制x1(n)的DFT图形2、运行结果10)()(10NkWnxkXNnnkNNjNeW2其中图3x1(n)的DFT前后图形图4x2(n)的DFT前后图形图5x3(n)的DFT前后图形3、结果分析由图可以看出，离散序列的DFT与对应连续函数的FT有对应关系，不同之处在于DFT的结果是离散的，而FT的结果是连续的，再者，DFT结果与DFT的变换长度N有关。（3）a、1、程序N=256;n=[0:N-1];x=sin(2*pi*2*n/10)+sin(2*pi*2.05*n/10);%定义xX=fft(x);%DFTfigure(1);subplot(2,1,1);stem(n,x);%绘制xsubplot(2,1,2);plot(n,abs(X));%绘制DFT后的图形2、运行结果图6长度为256的DFTb、1、程序N=128;n=[0:N-1];n1=[0:511];x=sin(2*pi*2*n/10)+sin(2*pi*2.05*n/10);x1=[x,zeros(1,384)];%以补零方式将n加长到512X1=fft(x1);figure();subplot(2,1,1)stem(n1,x1);%绘制xsubplot(2,1,2);plot(n1,abs(X1))%绘制DFT后的图形2、运行结果图7以补零方式加长到512的DFTC、1、程序N1=512;n2=[0:N1-1];x2=sin(2*pi*2*n2/10)+sin(2*pi*2.05*n2/10);%长度为512时变换X2=fft(x2);holdonfigure();subplot(2,1,1);stem(n2,x2);%绘制xsubplot(2,1,2);plot(n2,abs(X2));%绘制DFT后的图形2、运行结果图8长度为512的DFT3、结果分析由三种情况下的DFT结果可知，要区分信号中的两个不同频率，需要有一定个数的N，也就是说，N要足够大才可以区分开两个频率；第一种N，N400，因此DFT后二者频率未被区分开来；第二种N，N以补零的方式加长到512点，大于400，则可以将二者频率区分开来；第三种N，N400，二者频率分开了；也就是说，区分不同频率从DFT的角度来讲只要加长N的长度，而不管是以补零方式加长还是其他方式加长。（4）1、程序N=16;n=[0:N-1];x2=cos((pi/4)*n);x3=sin((pi/8)*n);x=x2+x3;%定义前述的序列x2(n)、x3(n)和x(n)y2=fft(x2);y3=fft(x3);y=fft(x);%对x2(n)、x3(n)和x(n)进行傅立叶变换figure(1);m2=abs(y2);subplot(2,1,1);stem(n,x2);%绘制x2(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m2)%绘制DFT后的x2(n)图形figure(2);m3=abs(y3);subplot(2,1,1);stem(n,x3);%绘制x3(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m3);%绘制DFT后的x3(n)图形figure(3);m=abs(y);subplot(2,1,1);stem(n,x);%绘制x(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m);%绘制DFT后的x(n)图形2、运行结果图9x2(n)DFT前后的图形图10x3(n)DFT前后的图形图11x(n)DFT前后的图形3、结果分析a、x2(n)为实偶对称序列（余弦序列），也可以认为是共轭对称序列；b、x3(n)为实奇对称序列（正弦序列），也可以认为是共轭反对称序列；c、x(n)可以认为是一个分成了共轭对称和共轭反对称序列的实序列，则其DFT的实部对应x2(n)，其虚部和j一起对应x3(n)；以上就是DFT的共轭对称性的一部分。（5）1、程序N=16;n=[0:N-1];x1=cos((pi/4)*n)+j*sin((pi/8)*n);y1=fft(x1);figure(1);m1=abs(y1);subplot(2,1,1);stem(n,x1);%绘制x1(n)的图形subplot(2,1,2);stem(n,m1);%绘制DFT后的x1(n)图形2、运行结果图12x1(n)DFT前后的图形3、结果分析X1(n)可以认为是一个分成了实部和虚部的序列，则其DFT的实部对应共轭对称序列，其虚部和j一起对应共轭反对称序列。就是DFT的共轭对称性的另一部分。四、实验小结序列的傅立叶变换和Z变换共同特点是：（1）适用于无限长序列；（2）变换的结果是连续函数，从计算的角度来看这是不利的。对有限长序列可采用离散傅立叶变换（简称DFT），它是可利用计算机进行数值计算的变换，并且存在快速算法，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。1、DFT的定义设x(n)是一个长度为N的有限长序列，定义x(n)的N点DFT为2、DFT与Z变换的关系10)()(10NkWnxkXNnnkNNjNeW2其中DFT的物理意义：序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；X(k)为x(n)的傅立叶变换X(ejw)在区间[0，2π]上的N点等间隔采样。3、DFT隐含周期性在DFT变换对中，x(n)和X(k)均为有限长序列，设nkNjnkNeW2，由于knNW的周期性，使得x(n)和X(k)隐含周期性，且周期为N。此外，DFT的基本性质包括线性性质、循环移位性质、循环卷积定理、复共轭序列的DFT以及DFT的共轭对称性等。