九年级数学特长生选拔考试试题

1山东省德州市第五中学九年级数学特长生选拔考试试题（时间：100分钟满分：100分）一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分．）1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22cbaba可以化简为A．-c-2bB．a-2b-cC．-2a-cD．c2．将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是①△CEF是等腰三角形；②四边形ADFE是平行四边形；③四边形BFED是菱形；④∠BDF+∠CEF＝2∠A；A．1B．2C．3D．43.已知1xy，且有07201432xx，03201472yy，则yx的值等于A．73B．37C．72014D．320144．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A．3B．4C．6D．85．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：qpn（qp）可称为正整数n的最佳分解，并规定qpnF)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(F，则有以下结论:①21)2(F；②32)24(F；③若n是一个完全平方数，则1)(nF；④若n是一个完全立方数，即3an（a是正整数），则anF1)(．其中正确的结论有A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分．）6．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44，仍是一个完全平方数，则这个自然数是．7．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．8．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA，则点A的坐标是．ABCDEF第2题图第4题图第1题图29．如图，已知半径为1的圆的圆心为M（0，1），点B（0，2），A是x轴负半轴上的一点，D是OA的中点，AB交⊙M于点C，若四边形BCDM为平行四边形，则sin∠ABD=．10．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e，d，c，取出数据的顺序是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则取出的数据按abcde的顺序的概率为____________．三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．12．如图，点H为△ABC的三条高线的交点，点D在△BCH的外接圆上，且AD⊥BD于点D，延长AD交HC于点P，交外接圆于点E．HABCDPDCA'BAOyx第8题图baedc（1）（2）第10题图第9题图xyMODABC3求证：点P为CH的中点．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AB＝BO＝2，∠AOB＝30°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．yOBAxMH第13题图414．（1）请你设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；（2）你能把正方形按上述要求分成31个正方形吗？若能，请画出图形；若不能，简单说明理由；（3）你能给出一种方法，把一个立方体分割成55个立方体吗？只需要说明设计方法，不需要画图．二○一五年德州五中九年级特长生选拔考试数学试题答案一、选择题ABBCB二、填空题6．1981；7．36；8．(1,1)ba；9．1010；10．110．三、解答题11．解：（1）矩形ABCD的边AB=CD=200x，……………2分5由题意得400×（2x+200x+200x）+300×（200x+200x）+200×80=47200即800x+400700x+200×80=47200．……………6分化简得x2﹣39x+350=0．解得x1=14，x2=25．……………9分经检验都是原方程的解，但x=25＞16（不合题意舍去）．当x=14时，2001614，符合题意．因此当三级污水处理池的总造价为47200元时，池长14米．……………10分（2）当以47200为总造价来修建三级污水处理池时，不是最合算；……………11分当池长为16米时，池宽为12.5米＜16米，故池长为16米符合题意，这时总造价为800×16+40070016+200×80=46300＜47200．……………13分因此当以47200为总造价来修污水处理池时，不是最合算．……………15分12．证明：延长BH交AC于点M，延长AH交BC于点N，连接BE，EH，EC．∵点H是△ABC的三条高的交点，∴BM⊥AC，AN⊥BC．……………5分∵ADBD，∴∠BDE=90°．∴BE为△BHC外接圆的直径．………8分∴∠BHE=∠BCE=90°．即BHEH，CEBC．……………10分又∵BH⊥AC,AH⊥BC，∴AH∥CE，AC∥HE．∴四边形ACEH为平行四边形．……………12分∵点P是对角线AE与HC的交点，∴点P为CH的中点．……………15分13．解：（1）如图，过点A作AH⊥x轴，垂足为H．∵AB=BO．∴∠∠OAB=AOB=30°．∴∠ABH＝60°．………………1分在Rt△ABH中，AB＝2，∴BH＝1，AH＝3．所以A(3,3)．……………2分∵抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A(3,3)，可得33a．∴抛物线的表达式为23323(2)333yxxxx．……………4分（2）由2232333(1)3333yxxx，yOBAxMH图1AEBDPMNHC6得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3．……………6分∴3tan3BOM．∴∠BOM＝30°．∴∠AOM＝60°．……………8分由A3,3、B(2,0)、M3(1,)3，AH⊥x轴，∠AOB＝30°，322AHAO．……………9分∵M3(1,)3，∠BOM＝30°，∴233OM．3OMOA．……………10分当点C在点B左侧时，∠ABC＝120°，△AMO中不可能出现120°的角，不存在满足条件的点；……………11分当点C在点B右侧时，∵∠ABC＝∠AOM＝60°，∴△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图2，当3OMOABCBA时，3231BABC．此时C（83，0）．……13分②如图3，当3OMOABABC时，6233BABC．此时C(8，0)．综上所述，C点的坐标为（83，0）或(8，0)．……………15分14．解：（1）如图1，容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8个正方形．……………5分（2）如图2，分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16﹣5+5×4=31个正方形．……………10分（3）说明：把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27-4+4×23=55个立方体．……………15分图1图2OBAxyMC图2OBAxyMC图37