拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)拉格朗日中值定理的几何意义。在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。理解——这个定理说的是什么1.在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a))和(b,f(b))点的连线平行）。f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=a，b对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的导数的值，也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等，两线平行。这是几何上的理解方式。2.我们将f(x)函数求导，得到f'(x)，众所周知f'(x)函数记录的其实就是【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即，在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x2)的变化……。函数由f(a)变化到f(b)的过程，其实就是f'(x)函数在(a，b)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f'(x)函数在(a，b)区间的值进行积分的过程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)），因为f(x)连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化的区间（a到b）的长度就等于这个变化的变化量【】。即所谓的必有一，使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即，【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【a，b区间内f（x）函数变化状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式。[1]其它形式拉格朗日中值定理的几何意义令f(x)为y，则该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x(0θ1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))（b-a）,0θ1.f(a+h)-f(a)=f'(a+θh)h,0θ1.定理内容若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件：(1)在[a,b]连续(2)在(a,b)可导当acb时，则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)；或使公式f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中acb证明证明:如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x(0θ1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。定理内容若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:(1)在[a,b]连续(2)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)证明:把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a).易证明此函数在该区间满足条件:1.g(a)=g(b)=0;2.g(x)在[a,b]连续;3.g(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证几何意义若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在1点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。物理意义对于直线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速度等于这个过程中的平均速度。推论如果函数在区间Q上的导数恒为零，那么函数在区间Q上是一个常数。证明：f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a)ξ∈[a,b]由于已知f'(ξ)=0，f(b)-f(a)=0，即f(b)=f(a)这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。