复变函数与积分变换-第一章

复变函数与积分变换董滔联系方式：[e-mail]2复变函数（Chapter1–Chapter5）教材：《复变函数》(第四版)西安交通大学高等数学教研室积分变换（Chapter1–Chapter2）教材：《积分变换》(第四版)东南大学高等数学系共计54学时复变函数与积分变换主要内容3对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数复数与复变函数、解析函数、复变函数简介复变函数与积分变换4第一章复数与复变函数复变函数与积分变换二、复数及代数运算四、复数的乘幂与方根一、复变函数的起源及应用三、复数的几何表示五、区域六、复变函数七、复变函数的极限和连续性一、复变函数的起源及应用概率论与数理统计1.复变函数的起源)(020acbxax042acb12x无解十六世纪,意大利卡尔丹在解三次方程时,首先产生了负数开平方的思想。十八世纪,达朗贝尔和欧拉逐步阐明复数的几何和物理意义，建立了复数理论，并用其研究了流体力学等方面的问题。十九世纪，复变函数理论得到全面发展。柯西、黎曼和维尔斯特拉斯通过努力,构建了非常系统的理论。6复变函数与积分变换2.复变函数的应用复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用，在复变函数中最先得到应用的是流体力学、电磁学、平面弹性力学三个领域。比如俄国的科学家如可夫斯基采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构设计问题。此外在电路分析、信号处理等方面也都得到了广泛的应用。一、复变函数的起源及应用7第一节、复数及其代数运算复变函数与积分变换1.复数的概念一般,任意两个复数不能比较大小。定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。称为虚单位。其中ii,12•复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)0||22yxz•复数的模0)Im()Re(0,,,222111212121zzziyxziyxzyyxxzz其中•判断复数相等82.复数的代数运算二、复数及代数运算复变函数与积分变换定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)请证明z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)证明：z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1(x2+iy2)+iy1(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+ix2y1-y1y2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)92.复数的代数运算二、复数及代数运算复变函数与积分变换定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的商为：)(zyxyxyxiyxyyxxzzz02222221122222212121z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，3.复数的运算规律10三、共轭复数复变函数与积分变换定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.•共轭复数的性质2222)Im()Re()3(yxzzzz)Im(2)Re(2)4(zizzzzz2121)()1(zzzz2121)(zzzz2121)(zzzzzz)2(根据(3)，计算时，把分子与分母同乘以，可得到所求的商。21zz2z11复变函数与积分变换.,)(,,43,55:1212121虚部及它们的实部求设例zzzzizizi5157i43i55zz:21解例题51)zzIm(57)zzRe(2121，i5157)zz(2112zzIm(z)Re(z)与，，求i1i3i1z例2：复变函数与积分变换例题解：i2123)23i3(i)i1)(i1()i1(i3)i(iii1i3i1z21(z)Im，23(z)Re254149)i21()23()i2123)(i2123(zz2213复变函数与积分变换例题例3设z1,z2是两个复数,证明2121212Re.zzzzzz证明因为212112,zzzzzz21222121112Re.zzzzzzzzzz14复变函数与积分变换练习,14ni,14iin,124ni43,nii441.ni4i1i1:1求1n4in4i2n4i2.求3n4i4n4i，，，，411=111iiiii解：1.2.15复变函数与积分变换第二节复数的几何表示点的表示向量表示法三角表示法指数表示法复球面161.点的表示复变函数与积分变换),(),(),(yxPiyxzyxyxP平面上的点一对有序实数任意点系，则在平面上取定直角坐标此时，表示的点，可用平面上坐标为复数.)(Pyxiyxz平面复平面或—平面虚轴—轴实轴—轴zyx)(yxPiyxz，复平面上的点点的表示：),,(yxiyxz一对有序实数易见，数z与点z同义.172.向量表示法.},{)(iyxzOPyxOPyxPiyxz表示可用向量，点zyxrOPzArg:,||||22记作辐角模：oxyP(x,y)rzxy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以向量为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.（z≠0时）OP复变函数与积分变换，而辐角不确定。当0z0z18x/y)z(tg0zArg时，0y,0x0y,0xxyarctg0y,0x2Ry,0xxyarctgzarg复变函数与积分变换辐角无穷多：为任意整数）（kArgk2z100把其中满足的称为辐角Argz的主值，记作zArg0计算argz(z≠0)的公式2xyarctg219复变函数与积分变换当z落于一,四象限时，不变Argz当z落于第二象限时，加Argz当z落于第三象限时，减Argz说明20复变函数与积分变换xyxyoiyxzPθrz3.向量三角、指数表示利用直角坐标与极坐标之间的关系cos,xrsin,yr再利用Euler公式cossin,iei复数z=x+yi可表示为称为复数z的三角表示式.(cossin),zri复数z=x+yi又可表示为称为复数的指数表示式,其中r=|z|,=Argz.,izre,,.zxyxzyz22zzzz21共轭复数的几何性质xyoiyxziyxz一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的.z复变函数与积分变换21zz21zz1zxy2z2z21211212zzzz)(zzzz:三角不等式由此得之间的距离与点—2112zzzz当0z时,ArgArg.zz当时,izre.izrezz复数和与差的模的性质22例题复变函数与积分变换5cosi5sinz2）例1.将下列复数化为三角表示式与指数表示式i212z1）6533arctg)122(arctgi65e4z4412zr解1），由于z在第三象限，所以)65sin(i)65cos(4z三角表示形式指数表示形式23解2）1)5(cos)5(sinzr22)103sin()52sin()5cos()103cos()52cos()5sin(三角表示形式103sini103cosz指数表示形式i103ez复变函数与积分变换24例2.设、为任意两个复数，证明：1z2z222)zzzzzzzz1112121）；证明：1)21222122112121212121zz)z()z()zz)(zz()zz)(zz()zz()zz(zz复变函数与积分变换25复变函数与积分变换证明：2)2222222222zzzzzzzzzzzzzz)zz)(zz()zz()zz(zz12122112111111121)zzRe(2zzzzzzzz2121211212因为2112212122121)zz(zz2zz)zzRe(2zzzz22222所以22zzzz11所以26oxyLz1z2z例3.通过两点与的直线用复数形式的方程来表示。111iyxz222iyxz)yy(tyy)xx(txx121121t其中解：因为通过两点（x1，y1）与（x1，y2）的直线可以用参数方程表示为所以它的复数形式参数方程为).zz(tzz121)t(由到直线段的参数方程为).zz(tzz121)1t0(1z2z21t当时，为线段的中点，表示为21zz2zzz21复变函数与积分变换27复变函数与积分变换例4.求下列方程所表示的曲线1）2）3）4)ziIm(2zi2z2izxyO-i2解：1）如右图所示，以-i为中心，半径为2的圆。y=-x2i2y=-32）y=-xiyxz)y1(ixiz4y1)ziIm(3）设，则有，所以因此y=-328复变函数与积分变换练习题1.用代数的方法求例4中的（1）和（2）。2.P31，第1题和第2题29作业P31，第4题（1）、（3）、（6）第8题（2）、（4）、（6）30复变函数与积分变换4复球面与无穷远点复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的球面.球面上的一点S与原点重合，通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极，S为南极。(如图).xyNOS31球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极N越近,它所表示的复数的模越大.球面上的N就是复数无穷大的表示，因此球面上的每一个点，有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面xyPNOS),(yx1P),(11yx复变函数与积分变换32复变函数与积分变换:的四则运算规定如下关于对于复数的无穷远点而言,它的实部、虚部,辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.();(1)加法();(2)减法(0);(3)乘法0,(),(0).0(4)除法33第三节、复数的乘幂与方根复变函数与积分变换复数的乘积与商复数的乘幂复数的方根34复变函数与积分变换1.复数的乘积定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)于是|z1z2|=|r1||r2|，Arg(z1z2)=Argz1+Argz235复变函数与积分变换1.复数的乘积几何意义Z1z2表示将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。1oxy1z2z1z22z2当|z2|=1，乘法变成只是旋转。例如iz相当于将z逆时针旋转90°，-z相当