选修2-3-2.3.1离散型随机变量的均值和方差

2.3.1离散型随机变量的均值按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等.定价为混合糖果的平均价格才合理问题情景18元/kg24元/kg36元/kgm千克混合糖果的总价格为321182436666mmm18元/kg24元/kg36元/kg情景探究按3：2：1混合以下糖果182436182436PXPXPEXX平均价格为32118243666632118243623/.666mmmmkg元362418PX362616均值(数学期望)定义一般地，若离散型随机变量X的概率分布为XP1x2x3xnx1p2p3pnp1122nnXEXxpxpxp均值则称为随机变量的或，它反映了离散型随机变量取值的平数学期望均水平.随机变量均值的线性性质已知随机变量X，其均值为E(X).若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．并且随机变量Y的均值为：E(Y)=E(aX＋b)＝aE(X)＋b．P654321X161616161616P13119753Y161616161616例如随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值.定义随机变量Y=2X+1，求E(Y).1122112212()()()...()(...)(...)().nnnnnEYaxbpaxbpaxbpaxpxpxpbpppaEXbpnxn……pkxk……p2x2p1x1PXpnaxn+b……pkaxk+b……p2ax2+bp1ax1+bPX随机变量X的分布列为：随机变量Y=aX+b的分布列为：随机变量Y的数学期望是：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？X=1或X=0P(X=1)=0.7X10P0.70.3()10.700.30.7.EX那么他罚球100次的得分X的均值是多少？温故知新一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=？()10(1).EXppp若X服从两点分布，则E(X)=p.X01P1－pp深入探究深入探究如果X~B(n，p)，那么E(X)=？1110.nkknknknpCpqnp若X~B(n，p)，则E(X)=np.111(1)101()nnkknkkknknnkkEXkCpqnpCpq()1(012)nkkknPXkCppkn，，，…，11.kknnkCnC这里用到，请自己证明则E(X)＝p若X~H(N，M，n)则E(X)＝nMN若X~B(n，p)则E(X)＝np若X~B(1，p)各种不同概率模型下的数学期望例1甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列为：问：甲、乙两名射手谁的射击水平高?X123P0.30.10.6Y123P0.30.40.3()10.320.130.62.3EX；()10.320.430.32.0.EY所以，甲射手比乙射手的射击水平高.解：例题讲解设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：叫做这组数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义对于离散型随机变量X的概率分布如下表：(其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn(xi－E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，故(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋...＋(xn－E(X))2pn称为离散型随机变量X的方差，记为D(X).其算术平方根为X的标准差：记为()DX().X随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.离散型随机变量的方差定义定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是、，分布列如下：试求随机变量、的期望和方差.解：1122()9()0.4()9()0.8.EDED，；，从上可知，.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些.1212()()()()EEDD，例题讲解例2甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平.0.4100.290.48概率p击中环数20.2100.690.28概率p击中环数1(3)~1()(1)XBpDXpp若，，则；2(2)()()DaXbaDX；212221122()(())(())(())(())niiinnDXxEXpxEXpxEXpxEXp重要结论：(4)~()(1).XBnpDXnpp若，，则2222212(1)1nXDxsxxxxn对于取各个值的概率相同时，；公式推广例2一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.例题讲解可设甲、乙两学生做对题的个数分别为X1、X2.例2一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X1和X2，则X1~B(20，0.9)，X2~B(20，0.25)，所以E(X1)＝20×0.9＝18，E(X2)＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5X1和5X2．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25．答:甲、乙同学得分的期望分别是90分和25分.求离散型随机变量均值的步骤：①确定离散型随机变量可能的取值；②写出分布列，并检查分布列的正确与否；③求出均值.方法与步骤例题讲解例3一年中一辆车受损的概率为0.03.现保险公司拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费为1000元，若在一年内该车受损，则保险公司需赔偿3000元.一年内，一辆车保险公司平均收益多少？分析：设保险公司平均收益为X.则X的分布列为：X20001000P0.030.97()20000.0310000.97910.EX答：一辆车保险公司平均收益910元.1.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.问1张彩票可能中奖的均值是多少元？2.在只需回答“是”与“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分.用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”与“不是”，计算X的数学均值.小试身手方案2：建保护围墙，建设费2000元，但围墙只能防小洪水；试比较哪一种方案好？遇大洪水损失60000元遇小洪水损失10000元有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率为0.01大型设备方案3：不采取措施.方案1：运走设备运费为3800；能力展现2.3.2离散型随机变量的方差例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是、，分布列如下：012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：E(=E(=1那么甲、乙两人的技术水平相同吗？情景引例设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：叫做这组数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义对于离散型随机变量X的概率分布如下表：(其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn(xi－E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，故(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋...＋(xn－E(X))2pn称为离散型随机变量X的方差，记为D(X).其算术平方根为X的标准差：记为()DX().X随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.离散型随机变量的方差定义定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是、，分布列如下：试求随机变量、的期望和方差.(3)~1()(1)XBpDXpp若，，则；2(2)()()DaXbaDX；212221122()(())(())(())(())niiinnDXxEXpxEXpxEXpxEXp重要结论：(4)~()(1).XBnpDXnpp若，，则2222212(1)1nXDxsxxxxn对于取各个值的概率相同时，；公式推广解：1122()9()0.4()9()0.8.EDED，；，从上可知，.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些.1212()()()()EEDD，例题讲解例2甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平.0.4100.290.48概率p击中环数20.2100.690.28概率p击中环数1例3袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的分布列，数学期望E(，方差D(.例题讲解例4每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数的分布列，并求出的期望E(与方差D(和标准差.例5将一枚硬币抛掷10次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E(与方差D(.例题讲解