线性代数A答案

线性代数模拟题一．单选题.1.下列（A）是4级偶排列．（A）4321；(B)4123；(C)1324；(D)2341．2.如果1333231232221131211aaaaaaaaaD，3332313123222121131211111324324324aaaaaaaaaaaaD，那么1D（B）．（A）8；(B)12；(C)24；(D)24．3.设A与B均为nn矩阵，满足OAB，则必有（C）．（A）OA或OB；（B）OBA；（C）0A或0B；（D）0BA．4.设A为n阶方阵)3(n，而*A是A的伴随矩阵，又k为常数，且1,0k，则必有*kA等于（B）．（A）*kA；（B）*1Akn；（C）*Akn；（D）*1Ak．5.向量组s,....,,21线性相关的充要条件是（C）（A）s,....,,21中有一零向量(B)s,....,,21中任意两个向量的分量成比例(C)s,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合(D)s,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6.已知21,是非齐次方程组bAx的两个不同解，21,是0Ax的基础解系，21,kk为任意常数，则bAx的通解为（B）(A)2)(2121211kk;(B)2)(2121211kk(C)2)(2121211kk;(D)2)(2121211kk7.λ＝2是A的特征值，则（A2/3）－1的一个特征值是（B）(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/48.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B-1-I|=(B)(a)0(b)24(c)60(d)1209.若A是（A），则A必有AA．(不清楚A表示什么，如果是转置矩阵，选A)（A）对角矩阵；(B)三角矩阵；(C)可逆矩阵；(D)正交矩阵．10.若A为可逆矩阵，下列（A）恒正确．（A）AA22；(B)1122AA；(C)111)()(AA；(D)111)()(AA．二．计算题或证明题1.设矩阵3241223kkA(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵？(2)求出P及相应的对角矩阵。参考答案：(1)则应有当12==1时，A+E的秩为1所以，k=0(2)当12==1时，对应特征向量可取为12112,002PP当3=1时101010000AE（），对应的特征向量可取为3101P3241223kkE-A10010221k0)1()1(2.1,1:321的特征值为得A12240224kkE-A0000224~kkE-A0000002240000002/12/11因此，1111200,10211P2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为λ，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是A*的一个特征值。参考答案：设非零向量x为A的对应于λ的特征向量，则，Ax=λx，两边乘以A*，A*Ax=A*λx略3.当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．23213213211aaxxxaxaxxxxax参考答案：.对增广矩阵B=（A，b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有22223232111111111~011(1)~011(1)1101110021aaaaaBaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa当220aa时，即1,2a时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解。此时解为：212311(1),,222aaxxxaaa当22=0aa时，=1,2a。当a=1时，R（A）=R（B）=1，方程组有无穷解此时解为：11221321xkkxkxk当2a时，R（A）=2，R（B）=,3无解。4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．0211,6512,14703,2130,421154321参考答案：12345103211032110321130110333000000,,,,=~~2175201110011104214600004400011（）143410301103010000001101~r-2r,r-r)~()01101000110001100000(交换行，则向量的秩为3，极大无关组为：124,,aaa，且3123aaa，5124aaaa5.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证：BAAB是对称矩阵．参考答案：由已知条件知道，=A,TTABB,则有，()()TTTTTTTABBAABBABAABABBA（）,所以BAAB是对称矩阵