第3章-解题指导(理论力学--金尚年-第二版)

解题指导一、本章习题的类型和基本解法常见的习题类型有两种：1、粒子在中心势场V=V(r)中运动问题的计算通常给定中心势（一般为），求轨道方程及其形状、轨道稳定条件、粒子运动情况以及其他有关的物理量。raV基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机械能守恒定律即可求得所要求的量。第三章两体问题二、碰撞问题的计算通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运动的速度大小与方向）和散射情况（散射分布）①分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；②碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；③在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理（因碰撞力的功很难计算）基本解法：（2）例题例1.一质点在中心势场中运动，力的大小为F=F(r),质点的速率为，求质点的轨道方程及所受的中心力。)0(ara解：取图所示的极坐标，根据角动量守恒mhmr22rh由ra，有:222222rarr（2）由（1）和（2）式得:222rhddrddrrhar即（3）dhhardr220rr设θ=0时，，积分（3）式，得质点轨迹方程：（4）khhaererr0022hhak22其中,可见质点的轨迹为对数螺线。rhkekrrk0222rhddrddrrhar2rh故质点所受的中心力为:)()(2rrmrF3222rhkrrhkr3242322)(rmarhrrhkmrhkr00rrss解：sr例2.设α粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度向一个质量为M，电荷为Ze的重原子核（金、铂等）射来。重核与矢量的垂直距离为d（称为瞄准距离）。设Mm，重核可近似看成是静止的。试求α粒子与重核的最近距离。00sr如图所示，α粒子运动中受重核静电斥力作用下其速度随时间改变,到达A点时与重核距离最近（）。根据角动量（对力心O）守恒或0drss（1）dsrmM由机械能守恒，有:202221221mrZekmss（2）022rZek0r（为何不考虑初始位置处的静电势能？）由（1）、（2）式，得:0422022drmZekrss])2(11[22220202kZedmmkZers（舍去负根）0drss（1）dsrmM代入实验数据可算出，与后来对原子核半径的测量值在数量级上相符。mrs1510本例是著名的α粒子散射实验的原理。1911年，卢瑟福（Rutherford）在研究α粒子散射实验基础上，提出了原子的有核模型，为原子结构和原子核的研究奠定了基础。])2(11[22220202kZedmmkZers解：（1）求运动轨道将55/mcurmcF代入比耐公式:242ac例3质点所受的中心力为若质点在ro=2a，θ=0处以速率o沿垂直于极轴方向抛出。求质点的运动轨道及运动规律。,/5rmcF)()(2222uFLmududu3222uhcudud（1）mhL令：duddduddududddudddud)()(22（2）式中：ddu（3）将（2）代入（1）式得：duuuhcd)(323222uhcudud（1）积分得：224212422cuuhc（4）由初始条件：t=0时，0,2100au224212422cuuhc（4）而dtdddududrdtdrr00r0dudr0dtd0)(00ddu可定出：（5）4221)21(241ahcac0,20ar沿垂直于极轴方向抛出228hac（6）由（5）、（6）式可得01c代回（4）式，得：22412auaudduadauudu24122adarrrd2)21()1(1)1(22或由初速度，可知：2042acmhLam20224212422cuuhc（4）（5）4221)21(241ahcaccos2ar（7）adauudu24122adarrrd2)21()1(1)1(22积分上式并代入初始条件：时，可得轨道方程：0ar2（7）式为半径为a的圆，力心在圆周上，如图所示。（2）求运动方程根据角动量守恒2mrL，有:hmLr2（8）由（6）、（7）、（8）三式，可得:2228/cos4acadtcad281cos320t0积分上式并代入初始条件：时可得质点的运动规律：3422sin21atc228hac（6）cos2ar（7）