平面直角坐标系中的距离公式(经典)

北师大版高中数学必修2第二章§1.5平面直角坐标系中的距离公式思考：如图，平面直角坐标系中两点A（x1,y1)，B（x2,y2),如何求点A,B之间的距离|AB|？在直角△ABC中，222BCACAB12221211y-yBABCx-xBAACB2B1A2A1B(x2,y2)A(x1,y1)OyxC212212)-()-(||yyxxAB一、两点间的距离公式两点),(),(2211yxByxA，间的距离公式212212)()(||yyxxAB巩固练习求下列两点间的距离：(1)、A(6，0),B(-2，0)(2)、A(0，0),B(5，12)(3)、A(2，3),B(5，-1)8135例题分析1:(1,2),(2,7),,||||,||.ABxPPAPBPA例已知点在轴上求一点使得并求的值设所求点为P（x，0），则解：222(1)(02)25PAxxx222(2)(07)411PBxxxPAPB2225411xxxx解得：1x22(11)(02)22PA所以所求点为(1,0)P例题分析1:(1,2),(2,7),,||||,||.ABxPPAPBPA例已知点在轴上求一点使得并求的值设所求点为P（x，0），则解：222(1)(02)25PAxxx222(2)(07)411PBxxxPAPB2225411xxxx解得：1x22(11)(02)22PA所以所求点为(1,0)P想一想：怎样用坐标的方法求点P(-3,5)到直线3x-4y＋5＝0的距离？点P0(x0,y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?PyxoPyxolQ写出直线PQ的方程，与l联立求出点Ｑ的坐标，然后用两点间的距离公式求得.|PQ|P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：二、点到直线的距离公式：2200BACByAxd注意：使用该公式须将直线方程化为一般式．QQxyox=x1P(x0,y0)10y-yPQ=10x-xPQ=yoy=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0)A=0或B=0，此公式也成立当A=0或B=0时公式成立吗？练习23.求点P0(0,5)到直线y＝2x的距离.1.求点A（-2，3）到直线3x+4y-1=0的距离.2.求原点到直线5x-12y-26=0的距离.2200BACByAxd4.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积.解：由两点间距离公式得17)0-1()13(||22BC又可求得BC方程:x-4y+1=0∴点A(1,3)到直线BC得距离为：1710)-4(1112-122hyxol2l1例3、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)的距离是2221-BACCdQP三、两条平行直线间的距离讨论：两条平行直线间的距离怎样求？点到直线的距离平行直线间的距离Oyxl2l1P任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=022200||BACByAxd的距离到直线则点上在直线设2100),(LPLyxP)(001ByAxC又直线的方程应化为A和B一样的一般式！例2.已知直线l1：2x－3y－8＝0，l2：6x－9y－3＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.解：(方法一)由k1=k2可得：l1//l213137963094622)(||d∴直线l1与l2间的距离在直线l1上取点(4,0)，其到直线l2的距离13137d例2.已知直线l1：2x－3y－8＝0，l2：6x－9y－3＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.解：(方法二)由k1=k2可得：l1//l2∴直线l1与l2间的距离为13137将l2的方程变形为：2x－3y－1＝013137)-3(2|8-1|22d∴直线l1与l2间的距离：例.已知点P为直线l：2x－y－4＝0上一动点，求点P与原点O距离的最小值.解：当PO垂直l时，点P与点O距离最小.554)-1(2|-4|||22mindPO点P与点O距离最小值即为点O到l的距离.课堂小结：一、两点间的距离公式212212)()(||yyxxAB.2200BACByAxd二、点到直线的距离公式三、两条平行直线间的距离公式2221||BACCd1.求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)距离相等的直线方程.2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程.课后练：作业：课本P76练习2