第九章奇异期权

Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity第九章奇异期权Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity奇异期权奇异期权：比常规期权(标准的欧式或美式期权)更复杂的衍生证券，比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity奇异期权的主要性质分拆与组合弱式路径依赖强式路径依赖时间依赖维数：基本的独立变量的个数期权的阶数Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity路径依赖期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。美式期权就是弱式路径依赖型的期权。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity障碍期权障碍期权是指期权的回报依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平敲出障碍期权敲入障碍期权向上期权向下期权Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity特殊交易条款障碍水平的时间依赖性双重障碍多次触及障碍水平障碍水平的重新设定外部障碍期权提前执行的可能性部分折扣Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity障碍期权的性质障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity障碍期权定价在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足障碍条件则反映在相应的边界条件上222212fffrSSrftSSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity敲出障碍当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为当时如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可以修改为：tT,0fHt,fHtRCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity敲入障碍敲入期权在没有到达障碍水平时，有：对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值就等于一个相应的常规期权价值。,0fST,fHt,bfHtCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity敲入和敲出障碍期权的关系在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系：敲入期权＋敲出期权＝执行价格和时间相同的常规期权Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity障碍期权的具体定价公式向下敲出看涨期权向上敲入看涨期权2212,,,rbbSHfStfStftSH2212,,rbSHfStftSHCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity障碍期权定价的扩展障碍期权合约中增加条款的考虑波动率的选择标的资产价格的观察频率Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity数值定价方法将结点设置在障碍上结点不在障碍水平上的调整适应性网状模型Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity三叉树图中的障碍水平外部障碍真实障碍内部障碍Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity二叉树图中的障碍水平外部障碍真实障碍内部障碍Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity障碍期权的静态套期保值尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，如果期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity反射保值这个方法建立在反射原理和看涨看跌对称的基础上，很简单但效果相当不错，但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列的时候才有效。假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水平H和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常规看跌期权空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们的组合头寸价值为，其中第一项来自障碍期权，第二项来自常规期权。根据平价关系和，组合价值正好等于，这是一个接近0的数。此时我们将两个期权平仓，就可实现保值。cpHX1rTtrTtSXeXeCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity亚式期权亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价公式中的一个独立状态变量。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity亚式期权的种类平均资产价期权平均执行价期权算术平均几何平均121...nISSSn1231lnlnlnln...lnnISSSSnCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity连续取样平均定义反映资产价格路径平均值的变量为其中为平均值函数，视期权合约条款规定而不同建立一个无风险组合应用布莱克-舒尔斯模型的方法，得到：0,tItFSd22221,02ffffSfStrSrftSIS,FS,,ffSItSSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity连续取样平均（续）偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第三个独立变量的影响的描述。这时，边界条件变为具体运用到算术平均和几何平均期权，偏微分方程分别为,,,fSITPSI2222102ffffSSrSrftSIS22221ln02ffffSSrSrftSISCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity更新规则在简单的亚式平均期权中：这里I的新值只由I的旧值、取样日的资产价格和取样日决定。这个规则还可以根据计算平均数的不同方法进行推广。但无论函数F如何变化，这个路径依赖变量始终都是在取样日进行相应的更新。1,,iiiIFStIiCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity离散取样的定价方程由于更新规则，实际上只有在取样日变量I才发生变化。在取样日之间，I是常数，因此定价方程与一般的布莱克-舒尔斯偏微分方程相同：2222102fffSrSrftSSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity几何平均亚式期权在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity算术平均亚式期权亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题，人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚式期权来近似逼近，常见的如下：二阶矩近似法控制方差法相似变量代换法Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity回溯期权回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯期权可以分为：固定执行价期权浮动执行价期权Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversityB-S模型框架下的回溯期权回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，因此回溯期权也属于强式路径依赖期权。可以采用在亚式期权中所讨论的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中去。但由于回溯价和亚式期权中的平均价性质不同，平均价必然会随着观测值的增加而改变，而最大值的回溯价则不一定会改变，这使得回溯期权的定价和亚式期权有所不同。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity连续观测Goldman,Sosin和Gatto推导出这个方程的边界条件是当时由回报推出的边界条件是（固定执行价看涨期权）（浮动执行价看跌期权）2222102fffSrSrftSSSM0fMmax,0MXmax,0TMSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity离散观测回溯价是通过离散时间取得的观测值比较形成的，其更新规则为：根据这一更新规则，可以得到离散观测的回溯期权的跳跃条件：1max,iiiMStM,,,max,,iifSMtfSSMtCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance