空间曲线的切线与法平面

上页下页返回结束空间曲线的切线与法平面一、参数方程的情形二、一般方程的情形第六节（1）第九章上页下页返回结束T空间曲线的切线与法平面MTM空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位置过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面M上页下页返回结束一、空间曲线为参数方程的情形)()()(tztytx)()(xzzxyybxa情形1情形2t上页下页返回结束)()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M情形1设空间曲线的方程割线的方程为MMzzzyyyxxx000上页下页返回结束考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxxT,0,时即当tMM)(0tx)(0ty)(0tz上页下页返回结束曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt上页下页返回结束.)1,1,1(,,32及法平面方程处切线在点求曲线　　tztytx,3,2,12tztyxttt因为).3,2,1(T,312111:zyx于是切线方程为,0)1(3)1(2)1(:zyx法平面方程为.632zyx即例1解所以切向量所对应的参数而点,1)1,1,1(t上页下页返回结束情形2空间曲线为两个柱面的交线:若取x为参变量,空间曲线的参数方程为)()(xzzxyyxx在M(x0,y0,z0)处,切线方程为法平面方程为.)x(zzz)x(yyy1xx00000.0)zz)(x(z)yy)(x(y)xx(100000)()(xzzxyy.))(xz),(xy(1,τ其切向量00上页下页返回结束x为参数,于是,1x,12xy.24xz21x解22126xzxyxx所以交线上与21x对应点的切向量T).12,6,1(交线的参数方程为取例2在抛物柱面的交线上,求对应的点处的切向量.切线方程和法平面方程.22126xzxy与上页下页返回结束切线方程6363212zyx法平面方程09124122zyx)()(00000xzzzxyyyxx0))(())(()(00000zzxzyyxyxxT).12,6,1(上页下页返回结束二、空间曲线为一般方程的情形•曲线视为两个曲面的交线，其方程为：0),,(0),,(zyxGzyxF通常假设。1,CGF上页下页返回结束情形3空间曲线为两个曲面的交线.0),,(0),,(zyxGzyxF:),(),(xzzxyy)()(xzzxyyxx)),(),(,1(xzxy若取x为参变量,根据隐函数微分法知,此方程组所确定的函数组为表示,切向量为将,0))(),(,(0))(),(,(xzxyxGxzxyxF两边对x求全导数:仍可用方程组。1,CGF上页下页返回结束,0dddd0ddddxzGxyGGxzFxyFFzyxzyx,ddzyzyxzxzGGFFGGFFxy,ddzyzyyxyxGGFFGGFFxz将,0))(),(,(0))(),(,(xzxyxGxzxyxF两边对x求全导数:切向量为T))x(z),x(y,1()z,y()G,F()y,x()G,F(,)z,y()G,F()x,z()G,F(,1上页下页返回结束切向量为切线方程法平面方程.)y,x()G,F(,)x,z()G,F(,)z,y()G,F(TGGGFFFkjizyxzyx0)(dd)(dd000zzxzyyxyxxMM处在)z,y,x(M000MMxzzzxyyyxxdddd1000上页下页返回结束例3.求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程解法1令则即0202yzx切向量Mzy1122Mzy)(2;6)6,0,6(T上页下页返回结束法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即0zx解法2.方程组两边对x求导,得1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1上页下页返回结束切线方程即法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0zx点M(1,–2,1)处的切向量)1,0,1(T上页下页返回结束小结.(x))z(x),y(1,τ)()(xzzxyy.0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的切线与法平面（向量都在点M上取值）],[,)()()(ttztytx切向量))(),(),((tttT切向量切向量GGGFFFkjizyxzyxT