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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,ABC是单位圆上互不相同的三点，且满足ABAC，则ABAC的最小值为（）A．14B．12C．34D．1【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。【解析】设单位圆的圆心为O，由ABAC得，22()()OBOAOCOA，因为1OAOBOC，所以有，OBOAOCOA则()()ABACOBOAOCOA2OBOCOBOAOAOCOA21OBOCOBOA设OB与OA的夹角为，则OB与OC的夹角为2所以，cos22cos1ABAC2112(cos)22即，ABAC的最小值为12，故选B。【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,1,,9BEBCDFDC则AEAF的最小值为.【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AEAF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AEAF，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.【答案】2918【解析】因为1,9DFDC12DCAB，119199918CFDFDCDCDCDCAB，AEABBEABBC，19191818AFABBCCFABBCABABBC，221919191181818AEAFABBCABBCABBCABBC19199421cos1201818211721172929218921818当且仅当2192即23时AEAF的最小值为2918.2．【试卷原题】20.（本小题满分12分）已知抛物线C的焦点1,0F，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于,AB两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FAFB，求BDK内切圆M的方程.【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。【易错点】1．设直线l的方程为(1)ymx，致使解法不严密。2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。【解析】（Ⅰ）由题可知1,0K，抛物线的方程为24yx则可设直线l的方程为1xmy，112211,,,,,AxyBxyDxy，故214xmyyx整理得2440ymy，故121244yymyy则直线BD的方程为212221yyyyxxxx即2222144yyyxyy令0y，得1214yyx，所以1,0F在直线BD上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244yymyy，所以212121142xxmymym，1211111xxmymy又111,FAxy，221,FBxy故21212121211584FAFBxxyyxxxxm，则28484,93mm，故直线l的方程为3430xy或3430xy2221211247416163yyyyyym，故直线BD的方程3730xy或3730xy，又KF为BKD的平分线，故可设圆心,011Mtt，,0Mt到直线l及BD的距离分别为3131,54tt-------------10分由313154tt得19t或9t（舍去）.故圆M的半径为31253tr所以圆M的方程为221499xy【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.【答案】（1）y2＝4x.（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0.【解析】（1）设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝8p，所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3)．故线段MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2.由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4（m2＋1）2（2m2＋1）m4，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面：1.对学生的考查要求上完全一致。即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则．2.试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。3.在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）题号*考点*试题难度*分值*解题方式*易错率区分度1复数的基本概念、复数代数形式的混合运算易5直接计算25%0.852函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的图象与图象变化中5数形结合65%0.603定积分、定积分的计算易5正面解30%0.754条件语句、选择结构中5正面解55%0.505裂项相消法求和、等差数列与等比数列的综合难5归纳推理85%0.406其它不等式的解法、不等式的综合应用难5数形结合综合法80%0.457棱柱、棱锥、棱台的体积、简单空间图形的三视图、由三视图还原实物图中5数形结合85%0.408求二项展开式的指定项或指定项的系数、等差数列的基本运算、数列与其它知识的综合问题中5运用公式计算70%0.459不等式恒成立问题、不等式与函数的综合问题中5化归与转化综合法70%0.5010双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、圆锥曲线中的范围、最值问题难5数形结合代数运算演绎推理85%0.4011向量在几何中的应用、平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及几何意义难5数形结合分析法88%0.3512指数函数综合题、指数函数单调性的应用、指数型复合函数的性质及应用难5数形结合综合法分析法90%0.3013导数的几何意义易5正面解30%0.7014两角和与差的正弦函数、同角三角函数基本关系的运用、三角函数的恒等变换及化简求值中5正面解70%0.4015古典概型的概率、点与圆的位置关系、两条直线平行的判定难5化归与转化代数运算85%0.3516向量在几何中的应用、平面向量的综合题、三角形中的几何计算难5数形结合化归与转化建坐标系法90%0.3017等差数列与等比数列的综合、等差数列的性质及应用、等比数列的性质及应用、函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用、两角和与差的正切函数易12直接解法数形结合逻辑推理30%0.7518离散型随机变量的分布列的性质、概率的应用、离散型随机变量及其分布列、均值与方差中12分析法代数计算70%0.5519平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面垂直的判定与性质、线面角和二面角的求法中12数形结合逻辑推理70%0.4520抛物线的定义及应用、直线、圆及圆锥曲线的交汇问题、圆方程的综合应用难12数形结合等价变换代数运算83%0.4021导数的运算、不等式恒成立问题、函数的最值及其几何意义、不等式与函数的综合问题难12分析法数形结合演绎推理97%0.2622圆的切线的性质定理的证明、与圆有关的比例线段中10数形结合逻辑推理70%0.4523直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程中10数形结合等价转化70