麦克斯韦方程组和电磁波

麦克斯韦方程组和电磁波（一）生平在法拉第发现电磁感应定律那一年，即1831年，麦克斯韦在英国的爱丁堡出生了。他从小聪明好问。父亲是个机械设计师，很赏识自己儿子的才华，常带他去听爱丁堡皇家学会的科学讲座。十岁时送他到爱丁堡中学。在中学阶段，他就显示出了在数学和物理方面的才能，十五岁那年就写了一篇关于卵形线作图法的论文，被刊登在《爱丁堡皇家学会学报》上。1847年，十六岁的麦克斯韦考入爱丁堡大学。1850年又转入剑桥大学。他学习勤奋，成绩优异，经著名数学家霍普金斯和斯托克斯的指点，很快就掌了当时先进的数学理论。这为他以后的发展打下了良好的基础。一、麦克斯韦（J.C.Maxwell)简介(1831--1879)1854年在剑桥大学毕业后，曾先后任亚伯丁马里夏尔学院、伦敦皇家学院和剑桥大学物理学教授。但他的口才不行，讲课效果较差。麦克斯韦在电磁学方面的贡献是总结了库仑、高斯、安培、法拉第、诺埃曼、汤姆逊等人的研究成果特别是把法拉第的力线和场的概念用数学方法加以描述、论证、推广和提升，创立了一套完整的电磁场理论。麦克斯韦除了在电磁学方面的贡献外，还是分子运动论的奠基人之一。（二）主要贡献（1）静电场的高斯定理qSDs=⋅∫rrd)1(（2）静电场的环路定理0ldEL)1(=×òrr表明静电场是保守（无旋、有势）场。表明静电场是有源场。1.静电场和恒定磁场的基本规律二、位移电流表明恒定磁场是非保守（有旋）场。0d)1(=⋅∫SBsrr（4）恒定磁场的环路定理IlHL=⋅∫rrd)1(（3）恒定磁场的高斯定理表明恒定磁场是无源场。上面四个式子中、、和各量分别表示由静止电荷和恒定电流产生的场，q为高斯面S内自由电荷的代数和，I为穿过闭合回路L的传导电流的代数和。)1(Dr)1(Er)1(Br)1(Hr法拉第电磁感应定律tmiddΦ-=e涡旋电场的环流和变化磁场的关系StBtlEsLmrrrrdddd)2(⋅∂∂∫-=Φ-=⋅∫式中表示变化磁场所激发的涡旋电场的场强。变化的磁场可以产生涡旋电场，那么，变化的电场能否产生磁场？)2(Er设某一时刻电容器A板的带电量为+q，其电荷密度为；B板的带电量为-q，其电荷密度为。s-s+平行板电容器极板间电位移矢量的大小为SqD==sIL=⋅∫lHrrd?d=⋅∫LlHrr2.位移电流IL2Sq+q-ErABI1SLq+q-ErABItdd=FI1SL2Sq+q-ErAB表明：虽然极板之间没有传导电流I，但其中存在着变化的电位移通量，而的变化率在任何时刻都和导线中的传导电流I相等；因为当电容器充电时，电容器两极板间的电场增强，所以的方向与的方向相同，也与导线中传导电流的方向相同；当电容器放电时，电容器两极板间的电场减弱，所以与的方向相反，但仍和导线中传导电流的方向一致。tddΦdtDdrDrdtDdrDrttDSItDddddddddΦ===rrd在有电容器的电路中，电容器极板表面被中断的传导电流I，可以由位移电流Id继续下去，从而构成了电流的连续性。位移电流：电场中某一点位移电流密度矢量等于该点电位移矢量对时间的变化率；通过电场中某一截面的位移电流等于通过该截面电位移通量对时间的变化率，即ΦddrdItqStDtΦIlHdLdddddd)2(=⋅∂∂===⋅∫∫∫rrr以表示位移电流产生的磁场强度)2(Hr)2(HrtD∂∂r与回路L中成右手螺旋关系。)2(HrtD∂∂r(1)位移电流与传导电流在产生磁效应上是等效的。(2)产生的原因不同：传导电流是由自由电荷运动引起的，而位移电流本质上是变化的电场。(3)通过导体时的效果不同：传导电流通过导体时产生焦耳热，而位移电流不产生焦耳热。3.位移电流与传导电流的关系()sdIIIlHHlH=+∑=⋅+=⋅∫∫rrrrrd)(d)2()1(dSIII+=全电流传导电流位移电流()StDSIIlHdrrrrrrddd⋅∂∂+⋅=+∑=⋅∫∫∫∫∫d在磁场中沿任意闭合回路的线积分在数值上等于穿过以该闭合回路为边线的任意曲面的传导电流和位移电流的代数和，这称为全电流安培定律，简称全电流定律。HrVqSDvs∫∫∫∫∫==⋅ddrSrrStBtlEsLrrrrdddd⋅∂∂-=-=⋅∫∫∫F0d=⋅∫∫SBsrrStDSIIlHssdLrrrrrrddd⋅∂∂+⋅=+=⋅∫∫∫∫∫d(1)电场的性质(2)磁场的性质(3)变化电场和磁场的联系(4)变化磁场和电场的联系1.麦克斯韦方程组的积分形式三、麦克斯韦电磁场理论r=∂∂+∂∂+∂∂zDyDxDzyx0=∂∂+∂∂+∂∂zByBxBZyxtDyHxHtDxHzHtDzHyHZzxyyyzxxxyz∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂ddd2.麦克斯韦方程组的微分形式tByExEtBxEzEtBzEyEzxyyzxxyz∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂kzjyixrrr∂∂+∂∂+∂∂=∇哈密顿算符r=⋅∇DrtBE∂∂-=×∇rr0=⋅∇BrtDH∂∂+=×∇rrrdEEDrrrreee0==HHBrrrrmmm0=={注意：静止电荷和恒定电流所产生的场的场量只是空间坐标的函数，而与时间t无关。但是，在一般情况下，积分形式的麦氏方程组中各场量都是空间坐标和时间的函数。HBDErrrr、、、Errgd=3.关系式电荷电流磁场电场运动变化变化激发激发4.电场和磁场的本质及内在联系（2）麦克斯韦电磁理论在微观区域里不完全适用，它可以看作是量子电动力学在某些特殊条件下的近似规律。（1）麦克斯韦方程可用于高速领域。5.麦克斯韦电磁场理论的局限性a.电磁场的电磁能量密度为:)(HBDEw+=21b.单位体积的场的质量：（电磁场不为零）()BHDEccwm+==22211.电磁场具有实物物质的基本特性:能量,质量和动量四、电磁场的物质性c.对于平面电磁波，单位体积的电磁场的动量和能量密度间的关系是：wpa.电磁场以波的形式在空间传播，而以粒子(光子)的形式和实物相互作用。光子没有静止质量，而电子、质子、中子等基本粒子却具有静止质量。cwp=2.场物质与实物物质的不同b.实物可以以任意的速度(但不大于光速)在空间运动,其速度相对于不同的参考系也不同,但电磁场在真空中运动的速度永远是3×108m/s，并且其传播速度在任何参考系中都相同。c.一个实物的微粒所占据的空间不能同时为另一个微粒所占据，但几个电磁场可以相互叠加，可以同时占据同一空间。3.实物和场在某些情况下可以相互转化小结：实物和场都是物质存在的形式，它们分别从不同方面反映了客观真实。同一实物可以反映出场和粒子两个方面的特性。1、自由空间中的电磁波和平面电磁波(1)真空中电磁场的波动方程EDrr0e=HBrr0m=真空介质性质方程tDHtBEBD∂∂=×∇∂∂-=×∇=⋅∇=⋅∇rrrrrr00五、电磁波两边求旋度()()2200tEBttBE∂∂-=×∇∂∂-=∂∂-∇=×∇×∇rrrrem00=⋅∇=⋅∇eDErr()()EEEErrrr22-∇=∇-⋅∇∇=×∇×∇(*1)(*2)比较(*1)和(*2)得:的偏微分方程电场Er022002=∂∂-∇tEErrem022002=∂∂-∇tBBrrem001cme=令:的偏微分方程磁场Br同理得到00BDDBEHtt∂∂∇⋅=∇⋅=∇×=-∇×=∂∂rrrrrr222210EEct∂⇒∇-=∂rr222210BBct∂⇒∇-=∂rr定态电磁波（单色波）：以一定频率w作谐振动的波单色简谐电磁波用复数形式表示：均匀介质中e，m为常数,DEBHem∴==rrrr将上式代入麦克斯韦方程组消去tiew()()()()titierBtrBerEtrEww--==rrrrrrr,,{00EHEiHHiBwmwe⎧∇⋅=⎪∇⋅=⎪⎨∇×=⎪⎪∇×=-⎩rrrrrr(2)定态波动方程线性介质中：()()()()()()wwmwewewHBEDrrrr=={00BDEtDBHt∂∇⋅=∇×=-∂∂∇⋅=∇×=∂rrrrrr对(c)两边求旋度，并利用(d)得比较以上两式，有：---亥姆霍兹方程()EHiErrrmewwm2=×∇=×∇×∇()()EEEErrrr22-∇=∇-⋅∇∇=×∇×∇022=+∇EkErr式中mew=k0=⋅∇Er利用矢量分析及0=⋅∇Er可得联立解出的空间分布Er022=+∇EkErr0()0()()()EaHbEiHcHiBdwmwe⎧∇⋅=⎪∇⋅=⎪⎨∇×=⎪⎪∇×=-⎩rrrrrr概括起来，在一定频率下，麦克斯韦方程组可化为：EiBEEkErrrrr×∇-==⋅∇=+∇w0022{类似，在一定频率下，麦克斯韦方程组也可化为BkiBiEBBkBrrrrrr×∇=×∇==⋅∇=+∇mewme0022{(3)平面电磁波()()txEtrE,,rrr→---平面电磁波亥姆霍兹方程化为一维常微分方程，即：()()2220dExkExdx+=rr()()0,ikxtExtEew-⇒=rr设电磁波沿X方向传播，和仅与x和t有关,即：ErBr00EikiE∇⋅=⇒⋅=rrrQ()0ikxExEe=rr00xEE=∴r要求与传播方向垂直实际存在的场应取实部,即：相速()()0,cosExtEkxtw=-rr1rrckwmeme===v普遍情况下，平面电磁波表达式：()()0,ikrtErtEew⋅-=rrrrr()()0,ikxtExtEew-=rrmew=kr为沿电磁波传播方向的常矢量kr如图所示0Krkr⋅=rr上的投影在是krrrr0S为等位面kr称为波矢kpl2=电磁波波长沿电磁波传播方向，相距为的两点之间位相差为2pkp2()()trkieEtrEw-⋅=rrrrr0,mew=kroxyzspkrrrq平面电磁波称为角波数k平面电磁波的性质1）电磁波是横波BErr和都与传播方向垂直kr0=⋅∇Er()()00ikrtikrtEEeikEeikEww⋅-⋅⋅-∇⋅=⋅∇=⋅=⋅rrrrrrrrrr0=⋅⇒EkrrEK⇒⊥rr()[]0EeiEiBtrkirrrrr×∇-=×∇-=-⋅()()trkieEtrEw-⋅=rrrrr0,()ikikEEkmew=-×=×rrrr0=⋅∴BkrrBK⇒⊥rrneEme=×rr方向沿互相垂直，和KBEBErrrrr×)23),EBrr和同相位振幅比等于v0000001rrEEEHBBeemmme====rr或v---同相位4）电磁波的传播速度大小为0011rrrrcemeemmem===vEeBnrrr×=me001me=c无阻尼自由振荡,图(a)，电容板上电量为q,振荡电流i,总能为：常量=+222121LiCq0=+dtdiLidtdqCq22,dqdidqidtdtdt==Q0122=+∴qLCdtqd-------谐振动微分方程求导：电磁波是变化的电场和磁场在空间的传播模型：振荡偶极子LC+(a)_2、电磁波的产生频率无阻尼电磁振荡：tqqwcos0=LC1=w1）发射电磁能2）能量µw4tqdtdqiwwsin0-==从振荡电路过渡到振荡偶极子LC+(a)_(b)LC+_(c)LC+_+q-ql(d)----使电路开放\减小L和C,提高w其通解为：电偶极子的偶极距tPtlqqlPwwcoscos00===(1)振荡电偶极子附近电场线的变化LC+(a)_(b)LC+_(c)LC+_+q-ql(d)3、偶极子发射电磁波(2)波场区的电场离偶极子足够远，rl的波场区，波阵面趋于球形波场区的电场和磁场线（a）电场线（b）磁场线4、电磁波谱(1)赫兹实验(2)电磁波谱1、电磁场的能量密度和能流密度线性介质：()BHDE⋅+⋅=+=21(2)能流密度-------坡印亭矢量Sr()emme12122HEvws+=⋅=平面简谐波：HEme=()EHEHHEs=+=∴emmeem21(1)电磁能密度HESrrr×=六、电磁场的能量和动量0021HEs=式中E0和H0分别是E和H的振幅2020HsEs∝∝或可以证明