泛函分析考试题

判断题：(1)设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。√(2)距离空间中的列紧集都是可分的。√(3)若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。×(4)任何一个Hilbert空间都有正交基。×(5)设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。×(6)设X是线性赋范空间，若X与X同构，则X必是完备的。√(7)设X是Hilbert空间，T是线性算子，满足,,,,TxyxTyxyX，则TLX。√(8)设MX是线性赋范闭子空间，若0xM，则一定存在fX，使000,,1Mffxxf。×(9)设X是Banach空间，T是X上线性算子，如果DT是X中的闭集且在X中稠密，则T有界。√(10)设nal，定义2l上的算子T为nnnTa，则pnTa。√1.设X是有限维赋范空间，试证：X上任意两个范数都是等价范数。证明：令1212,,,XXXX，显然必存在有一个范数较强，不妨假设存在一个M0，使得21xMx。取单位算子12,ILXX，这时有21IxMx，故I是有界线性算子，显然I是单射，满射，由逆算子定理可知，I存在逆算子1I，且有界，因而1121IxIx，所以12,等价。2.设X是有限维赋范空间，试证：X中弱收敛等价于按范数收敛。证明：显然，在X中按范数收敛的序列一定是弱收敛。另一方面，取01,nnxXxX，使得0wnxx，即对于任意的TX使得0limnnTxTx。假若nTxX，不按X的范数收敛，即存在nTxX中的一个子列knTx使得，存在00，有00knTxTx。然而，在有限维空间X中，由于1nnx弱收敛，进而1nnx有界，所以有nnTxTx，即nTxX为列紧集，故存在yX，使得0limlimknnnkyTxTxTx，这与00yTx矛盾，所以假若nTxX按X的范数收敛。综述X中弱收敛等价于按范数收敛。3.定义2l上的算子S为1212,,,,0,,,,,nnSxxxxxx，试证S有左逆但无右逆。证明：定义2l上的算子H为1223,,,,,,,,nnHxxxxxx，显然有121212,,,,0,,,,,,,,,nnnHSxxxHxxxxxx，所以H为S的左逆算子。另一方面，假设S存在右逆算子T，使得ST=I（其中I为单位算子）。取2xl使得12,,,,01;1,2,nixxxxxi或，显然1x，这时supISTSTxSTxSTI，矛盾。所以S没有右逆算子。4.设X，Y是Banach空间，:TXY是有界线性算子，满足1RTY；（2）存在0m，使得对任意xX有Txx，试证；T有有界逆1T，且11Tm。证明：由条件1可以知道T为满射。令ker0TxTx则有0Txmx，这时x=0，所以kerT={0}，从而T为单射。由逆映射定理可以T存在逆映射1T，易求11Tm。5.设X是线性赋范空间，1nnx是X中线性无关的序列，试证：存在nfX，使得1nf且10nknkfxnk。证明：令1211,,,,,,,iiiniiiXLxxxxxdxX。显然iXX，由Hanna-Banach定理可知：存在ifX，使得1,0,iiiiiiffXfxd。取iiiffd，得1nf且10nknkfxnk。6.设0,tab，定义1,Cab上的泛函为0Ffft，,max,xabffxfx。试证1,FCab。证明：任取1,;,,RfgCab，有000FfgfgtftgtFfFg且0Fftf，所以1,FCab。7.若X是自反空间，弱收敛与弱收敛等价。证明：显然在X中，弱收敛强于弱收敛。假设序列1,nnfXfX，有wnff。这时，对于任意的xX，由于X是自反空间，存在xxX，使得limlimnnnnxffxfx，即wnff。从而弱收敛强于弱收敛。综上所述，弱收敛与弱收敛等价。