等比数列前n项和PPT

2.5等比数列前n项和回顾旧知1.等比数列{an}的通项公式：1n1nqaa注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列.2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、累乘法。3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法.国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？新课导入1+2+4+8+…+263=18446744073709551615（粒）已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题.探讨问题发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特点？如果①式两端同时乘以2得:2S64=2+22+23+…+263+264②比较①、②两式，有什么关系呢？S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：S64=264-1=18446744073709551615设问：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？等比数列前n项和公式及推导在等比数列{an}中首先要考虑两种情况：当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=？当q=1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an=a1+a1+a1+……+a1+a1=na1共n个a1na1aqnS设等比数列，首项为,公比为如何求前n项和？S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)分析：Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②①-②得：Sn(1—q)=a1—a1qn当q≠1时，q1)q1(asn1n则等比数列{an}前n项和公式为Sn=na1q=1q1)q1(an1q≠11.注意q=1与q≠1两种情况.2.q≠1时，q1qaaq1)q1(asn1n1n通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d例1等比数列{an}的公比q=，a8=1，求它的前8项和S8.21解法1：因为a8=a1q7，所以77812qaa因此25512211])21(1[2q1)q1(as887818解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}，其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和2552121q1)q(1bs8818求和999999999999n个分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为10－1，100－1，1000－1，……，就可以解决了。例2原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1)=(10+100+1000+……+10n)－n10(101)101nn10(101)9nn解：例3已知数列的前五项是（1）写出该数列的一个通项公式；（2）求该数列的前n项和}a{n.24315,8114,2713,912,311ns分析：此数列的特征是两部分构成，其中}ba{nn是整数部分，又是等差数列，}a{n}b{n又是等比数列.是分数部分，和等比数列，所以此方法称为“分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列解：（1），nn31na（2）)31n...()313()312()311(sn32n)31...313131()n...321(n3231)31(12)1n(nn213)1n(n2132)1n(nnn某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p0)，求这个工厂去年全年产值的总和。解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……，所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p，例41212[1(1)]1(1)apSp12[(1)1]app答：该工厂去年全年的总产值为元。12[(1)1]app求和：.nn2n164834221S例5为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，nnn21n2nann2121分析：解：，n432n21n214213212211S两端同乘以，得211nn5432n21n211)(n214213212211S21,2n2121212121S211nn432n两式相减得于是.n1nn2n212S注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1．例6设数列求这个数列的前n项和0)(aa)(a1nn解:（与n无关的常数）所以该数列是等比数列，首项为1，，该数列的公比为1，，该数列的公比不为1，aa)(a)(aa1nnn1n1a1ansna1)a(1snn求和：.nn2n164834221S为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，nnn21n2nann2121例7解：，n432n21n214213212211S两端同乘以，得211nn5432n21n211)(n214213212211S21,2n2121212121S211nn432n两式相减得于是.n1nn2n212S“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a1=，公比q=的等比数列，2121思考与余味它的前n项和为这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.nnn)21(1211])21(1[21s不论n取何值，总小于1，n)21(1课堂小结本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式：以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.Sn=na1q=1q1qaaq1)q1(an1n1q≠11.推导等差数列前n项和公式的方法.2.公式的应用中的数学思想.-------错位相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个.-------知三求二（07年广东）等比数列{an}中，a1=3,an=96,sn=189,求n的值．解：由139618911nnaaqqsqq得：q=2所以：111396nnnaaqq11232156nnqnn高考链接随堂练习1.求等比数列的前8项的和,...81,41,21解:21a18n212141q256255211])21(1[21s882.某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台（保留到个位）？分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.na300001.11)1.15000(1n6.1lg1.1lgn5lg1.1lg1.6n解：设每年的产量组成一个等比数列其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000∴整理可得：1.1n=1.6两边取对数得即：答：约5年内可以使总销售量达到30000台.3.已知数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式；，求数列的前n项和（2）令}a{n2a112aaa321}a{n)Rn(3abnnn}b{nns解：（1）设数列的公差是d,则又}a{n12d3a3aaa1321,2a1得d=2，所以*nNn,n2a（2）令①①-②得,b...bbsn21n则由得nnnn3n23abn1n2n3n23)2n2(...3432s1nn32n3n23)2n2(...3432s3②1nn2n3n2)3...33(2s)31(所以233n3s1nnn习题答案341144213123321211641.(1),14.164451.114(2)(1),13,210.11.236.2aqaqaaqsqsaaaaqqqqqqqqaa或或