2015年高考全国新课标1卷理科数学试题(含答案)

-共13页，当前页是第-1-页-绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足1+z1z=i，则|z|=（A）1（B）2（C）3（D）2【解析】1+1ziz可得1(1)(1)1(1)(1)iiiziiii，故可得||1z，选择A.（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（A）32（B）32（C）12（D）12【解析】本题三角函数公式，故可得1sin20cos10-cos160sin10=sin20cos10-cos180-20sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin20+10=sin30=2。。。。。。。。。。。。。。。。（）（），选择D.（3）设命题P：nN，2n2n，则P为（A）nN,2n2n（B）nN,2n≤2n（C）nN,2n≤2n（D）nN,2n=2n【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择C.（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概-共13页，当前页是第-2-页-率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【解析】本题考查事件的概率，至少投中2次才能通过，那么投中的次数是2或3，因此概率为223333(0.6)0.4(0.6)0.648PCC，选择A.（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2212xy上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1MF2MF＜0，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）【解析】本题考查双曲线通过120MFMFuuuuruuuur可得2000(3)(3)0xxy，而220012xy，因此可得2013y，故答案为A.（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【解析】本题考查空间立体几何，有四分之一圆弧的周长为8尺可以得出，1284r，3，因此163r，故体积为2111334Shrh，通过计算可得3209V换算单位可得3209221.62，因此选择B.-共13页，当前页是第-3-页-（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则（A）=+(B)=（C）=+(D)=【解析】本题考查平面向量，画出图形，1114()3333ADACCDACBCACACABABACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur可知答案为A.(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间，故可得答案为B.（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8-共13页，当前页是第-4-页-【解析】本题考查算法，过程为（10）的展开式中，y²的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60【解析】本题考查二项式公式，把x+y看做是一个整体，因此可得52xy只能是22235()()Cxxy中的某一项，故可得系数为：215310330CC，故选择C.（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则r=-共13页，当前页是第-5-页-（A）1（B）2（C）4（D）8【解析】本题考查三视图，由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254rr=16+20，解得r=2，故选B.12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A.[-，1）B.[-，）C.[，）D.[，1）【解析】-共13页，当前页是第-6-页-第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数f(x)=xln（x+2xa）为偶函数，则a=【解析】本题考查偶函数，因此有22()ln()()ln()fxxxaxfxxxax，故可得221xaxxax因此可得1a.（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为。【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a，0），因此可得244aa，或244aa解得32a，因此圆的方程为22325()24xy（15）若x,y满足约束条件则yx的最大值为.【解析】本题考查线性规划，根据题意画出可行域，yx可以看做是与原点连线的斜率，因此如果yx最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3)处有最大值是3，因此xy的最大值是3.（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是【解析】如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知ADE中，105DAE。，45ADE。，30E。，设1=2ADx，则262=,=24AExDEx62,2,()sin1514CDmBCxmQ。，故可得62624xm所以04x，而622622624242ABxmxxmx因此可得AB的范围是(62,62).-共13页，当前页是第-7-页-三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）Sn为数列{an}的前n项和.已知an0，（Ⅰ）求{an}的通项公式：（Ⅱ）设,求数列}的前n项和【解析】（Ⅰ）因为2243nnnaaS，所以2111243nnnaaS，两式相减可得2211224nnnnnaaaaa即111()()2()nnnnnnaaaaaa，0naQ，10nnaa，故可得12nnaa所以{}na是等差数列，将1n代入2243nnnaaS中可得13a或11a（舍去）因此可得通项公式为3(1)221nann（Ⅱ）1111()(21)(23)22123nbnnnn，因此它的前n项和为1111111111()()2355721232323nTnnnL（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值-共13页，当前页是第-8-页-【解析】连结BD，设BDACGI，连结,,EGFGEF在菱形ABCD中，不妨设1GB，由120ABC。可得3AGGC由BEABCD面，ABBC可知AEEC.又AEEC，所以3EG且EGAC在tREBG中，可得=2BE故2=2DF在tRFDG中，可得6=2FG在直角梯形BDFE中，=2BD，=2BE，可得322EF从而有222EGFGEF，所以EGFG又ACFGGI可得EGAFC面，又EGAFC面，所以AECAFC面面(2)如图，以G为坐标原点，分别以GBuuur和GCuuur为x轴和y轴正方向，|GBuuur为单位长度，建立直角坐标系，因此可得2(030)(102)(10),(030)2AEFC，，，，，，，，，，，所以2(132)(13)2AECFuuuruuur，，，，-，，故可得3cos=3||||AECFAECFAECFuuuruuuruuuruuuruuuruuur（，）所以直线AE与直线CF所成角的余弦值是33.（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。-共13页，当前页是第-9-页-xyw11x（x1-x）211x（w1-w）211x（x1-x）(y-y)11x（w1-w）(y-y)46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1=x1,，w=18111xw（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1v1）,（u2v2）……..（unvn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【解析】（1）ycdx适宜，由图像分析可知符合抛物线的方程（2）81821()()108.8681.6()iiiiiwwyydww563686.8100.6cydw$所以68100.6yx（3）0.213.620.1213.620.12zyxxxxx-共13页，当前页是第-10-页-由49x可得4913.6720.1266.32z2()13.620.12zxx当6.8x可得46.24x时，年利率的预报值最大（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线y=ks+a(a0)交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。【解析】（Ⅰ）当0k时，直线:lya，则C与l的交点为M,N，它们的横坐标是2a或2a不妨设(2,),(2,)MaaNaa对24xy求导可得'2xy所以M点切线的斜率为a，N点切线的斜率为a所以M点切线方程为：0yaxaN点切线方程为：30yaxa（Ⅱ）设01122(0,),(,),(,)PyMxyNxyOPMOPN，则直线PM与直线PN的斜率互为相反数，也就是MPPNkk即102012yyyyxx1204xxy联立方程24xyykxa可得2440xkxa因此可得124xxa，所以0ya也就是P的坐标与k无关，所以存在点P在k变动时，使得OPMOPN（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=31,()ln4xaxgxx(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲